2. Показательные уравнения и неравенства Показательные уравнения, приводимые к квадратным.

Пример1. +4=0

Решение:

Пусть =t, где t>0

=1

=4

=1 2) =4

= =

х=2

Ответ: =2

Пример 2.

Решение

Пусть

1)

х=2

Ответ: х=2

Пример 3. 10*

Решение

Пусть

=

1. 2)

х=-1

Пример 4.

Решение:

Пусть =t, где t>0

1. 2)

х=0

Пример 5. 9^х ─ 4*3^х ─ 45=0

3^2х ─ 4*3^х 45=0

решение:

Пусть 3^х = t, где t > 0

t² ─ 4t ─ 45 = 0

t₁ = 9

t₂ = -5

3^х = 9 3^х =3² х=2

Ответ: х=2

Рассмотрим решение показательных неравенств вида , где b – некоторое рациональное число. Если a>1, то показательная функция монотонно возрастает и определена при всех х. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству . Если  0<a<1, то показательная функция монотонно убывает и определена при всех х. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Тогда неравенство равносильно неравенству

1. Рассмотрите приведенные ниже примеры решения показательных неравенств вида . 

Пример 1. Решим неравенство

Запишем неравенство в виде . Т. к. , то показательная функция возрастает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Ответ: .

Пример 2. Решим неравенство .

Запишем неравенство в виде .

Т. к. , то показательная функция убывает. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству .

Ответ: .

Рассмотрим решение показательных неравенств вида Где f(x) и g(x) некоторые функции, зависящие от x. Частным случаем неравенств вида являются неравенства вида , где b – некоторое действительное число. Для решения неравенств рассмотренных видов используется свойство возрастания или убывания показательной функции. Решим неравенство (*). Рассмотрим показательную функцию . И рассмотрим значения показательной функции при t1=f(x) и при t2=g(x). Перепишем данное неравенство (*) в виде (**). Если a>1, то функция возрастает. Тогда неравенство (**) равносильно неравенству . А данное неравенство (*) неравенству . Если 0<a<1, то функция убывает. Тогда неравенство (**) равносильно неравенству . А данное неравенство (*) неравенству .

Пример. Решите неравенство

Запишем неравенство в виде . Показательная функция возрастает (3>1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству . Откуда . Решив квадратное неравенство, получим –1<x<2.

Ответ: (–1;2).

Решение некоторых показательных неравенств сводится к решению квадратных неравенств. Рассмотрите пример такого показательного неравенства.

Пример. Решим неравенство

Пусть , тогда получим квадратное неравенство .

Так как , то получим, что совокупность

Первое неравенство не имеет решений, так как . Второе неравенство можно записать в виде .

Ответ: