5 Прямые и плоскости в пространстве

Цель: студенты должны уметь распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении

5.1 Прямые на плоскости

Прямая — одно из основных понятий геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. При C = 0 прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке и образующая угол с положительным направлением оси Ox:

Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy.

Уравнение прямой в отрезках. Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке (а, 0) и ось Oy в точке (0, b):

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

5.2 Прямые и плоскости в пространстве

Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.

Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.

В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:

прямые пересекаются;

прямые параллельны;

прямые скрещиваются.

Замечания.

1. Если прямая параллельна плоскости, то расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

2. Если две плоскости параллельны, то расстояние от произвольной точки одной из плоскостей до другой называется расстоянием между данными плоскостями.

3. Если две прямые скрещиваются, то расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведённой через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если точка лежит в плоскости. Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Признаки параллельности прямой и плоскости

1) Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

2) Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки параллельности плоскостей

1) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2)Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости

1) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2) Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Наклонная к плоскости

Прямая, пересекающая плоскость и не перпендикулярная ей, называется наклонной к плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной к этой плоскости, перпендикулярна и самой наклонной.

Признаки параллельности прямых в пространстве

1) Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

2) Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.

Признак перпендикулярности плоскостей

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Расстояние от точки до прямой

Если задана точка М(х₀, у₀), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как

 

Пример. Определить угол между прямыми: y = -3x + 7;  y = 2x + 1.

k₁ = -3;   k₂ = 2          tgα = ;   α = π/4.

Пример. Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

   Находим: k₁ = 3/5,    k₂ = -5/3,  k₁k₂ = -1, следовательно, прямые перпендикулярны.

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Даны вершины треугольника А(2;3), В(1;-2) и С(-3;2). Составить уравнение медианы (АD).

Задание 2. Даны вершины треугольника А(1;4), В(3;-9), С(-5;2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины В.

Задание 3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х + 4у – 5 = 0 и 7х + 5у + 11 = 0 и точку А(5;0).