6.2 Пирамида
Определение. Многогранник, одна из граней которого - многоугольник, а остальные грани - треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.
Треугольники, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями пирамиды; общую вершину боковых граней - вершиной пирамиды; многоугольник, которому не принадлежит эта вершина,- основанием пирамиды; ребра пирамиды, сходящиеся в ее вершине,- боковыми ребрами пирамиды. Высота пирамиды - это отрезок перпендикуляра, проведенного через ее вершину к плоскости основания, с концами в вершине и на плоскости основания пирамиды.
Определение. Пирамида, основание которой - правильный многоугольник и вершина проектируется в его центр, называется правильной.
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти 147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.
Объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же высотой.
SABCD – четырёхугольная пирамида;
ABCD – основание пирамиды;
ΔSAB; ΔSBC; Δ SDC; ΔSDA – боковые грани пирамиды;
S – вершина пирамиды;
SA; SB; SC; SD – боковые рёбра пирамиды
SO – высота пирамиды
Пирамида правильная – пирамида, у которой в основании лежит правильный
многоугольник, а высота, опущенная из вершины пирамиды на плоскость
основания, является отрезком, соединяющим вершину пирамиды с центром
основания.
Свойства правильной пирамиды:
1. Все боковые рёбра правильной пирамиды равны между собой.
2. Все боковые грани являются равными между собой равнобедренными
треугольниками.
3. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине
произведения периметра основания на высоту боковой грани, которая называется апофемой.
– периметр
основания,
-
апофема.
Объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
Задания для самостоятельной работы
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 18 см, высота пирамиды 6 см. Найти боковое ребро пирамиды.
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 16 см, а боковое ребро 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, высота пирамиды 12 см. Найти площадь полной поверхности пирамиды.
Основание пирамиды – треугольник со сторонами 20, 21 и 29 см. Высота пирамиды 10 см. Найти объем пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 3 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, высота пирамиды √23 см. Найти боковое ребро пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, а боковое ребро пирамиды 13 см. Найти высоту пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, высота пирамиды 3 см. Найти боковое ребро пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, высота пирамиды 6 см. Найти боковое ребро пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде апофема равна 10 см, а сторона основания 12 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани 15 см. Найдите боковое ребро.
Основание пирамиды – прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны 13 см. Найдите высоту пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°, а сторона основания равна 8 см. Найдите объем пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 15 см, высота пирамиды 12 см. Найти боковое ребро пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде высота боковой грани равна 16 см, высота пирамиды 12 см. Найти боковое ребро пирамиды
SABCD –правильная пирамида. SO – высота, SO=12 см. SL – апофема, SL=15 см. Найдите боковое ребро.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°, а сторона основания равна 6 см. Найдите объем пирамиды.
Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 5 см, а высота 4 см. Найти площадь боковой поверхности.
В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна 15 см, а сторона основания пирамиды 12 см. Найти боковое ребро пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°, а высота равна 12 см. Найти площадь основания.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 10 см, высота 6 см. Найти апофему пирамиды.
SABCD –правильная пирамида. SO – высота, SO=7 см. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 45°. Найдите объем пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 45°, а сторона основания равна 8 см. Найти объем пирамиды.
Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 15 см, а сторона основания 12 см. Найти боковое ребро пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 13 см, а сторона основания пирамиды 10 см. Найти высоту пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°, а высота равна 3 см. Найти площадь поверхности пирамиды.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 8 см, боковое ребро 10 см. Найти высоту пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 45°, а сторона основания равна 6 см. Найти площадь поверхности пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°, а высота равна 14 см. Найти длину бокового ребра пирамиды.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды 6 см, высота 4 см. Найти объем пирамиды.
Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием стороной 4,6 м и углом наклона апофемы к основанию 45°. Найти площадь боковой поверхности.
Пирамида Хеопса имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой 150 м и боковым ребром 220 м. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро длиной 18 см наклонено к плоскости основания под углом 45°.