Замена переменной
Интегрирование способом подстановки заслуживает особого внимания, так как этот способ дает возможность привести данный интеграл к табличному. Метод подстановки наиболее широко употребляется, поэтому им надо хорошо владеть.
Задание
1.
Найти
Решение.
Применяя подстановку
,
где t
– новое переменное. Возведем обе части
равенства в квадрат.
1+x2=t2
Продифференцируем обе части равенства. Получим:
2хdx=2tdt
Отсюда
xdx=tdt
Теперь данный интеграл можно записать:
Произведя
обратную подстановку, получим:
При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило выбора замены переменной для интегрирования любой функции. Это можно сделать только для интегрирования отдельных классов функций: рациональных, тригонометрических и т.д.
Интегрирование по частям
Этот
метод интегрирования основан на
применении формулы дифференцирования
произведения d(uv)=udv+vduи
вычислении затем интеграла
.
Из этого равенства получаем формулу
интегрирования по частям: 
.
Примеры:
a)
Интегрируется
по частям: пусть
;
тогда
,.
Следовательно,
.
Еще
раз интегрируется по частям: пусть
тогда
.
Получаем,
.
б)
Интегрируется
по частям: пусть
;
тогда
.
Следовательно,
.
в)
Интегрируется
по частям: пусть
;
тогда
,
.
Следовательно,
.
Получившийся интеграл вычисляется методом замены переменной:
.
Тогда
г)
Пусть
.
Тогда
.
Интегрируется
по частям: пусть
;
тогда
.
Следовательно,
.
9.3 Определенный интеграл
Основные свойства определенного интеграла
.
.
.Если f(x)(x) на отрезке [a, b] a<b, то
.
5.
Для произвольных чисел a,
b,
c
справедливо равенство:
,
где равенство выполняется, если существует
каждый из входящих в него интегралов.
6.
.
Методы интегрирования определенного интеграла
Непосредственное интегрирование.
Пример:
.
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Пример:
Замена переменных.
Пример:
3 .Интегрирование по частям
Формула
имеет вид:
.
Пример:
=
=
=
=
+
=0.
9.4 Приложения определенного интеграла
Необходимо
хорошо усвоить, что с геометрической
точки зрения определенный интеграл
непрерывной функции численно равен
площади фигуры, ограниченной кривой
y=f(x),
осью Ох и прямыми х=а
и x=b.
Поэтому формулу площади можно записать так:
S=
Задача.
Вычислить площадь, ограниченную линиями y=x2+1, x=0, x=2, y=0 (это уравнение оси Ох).
Решение.
Находим неопределенный интеграл:
Тогда
S=
кв. ед.
Ответ:
4
кв. ед.
Задания для самостоятельной работы
1. Множество всех первообразных функции y = 2x имеет вид …
1) x2
2) x2 + С
3) 2
4) 2x2 + С
2.
Определенный интеграл
равен
…
1) 15
2) 17
3) 36
4) x4
3. Площадь криволинейной трапеции определяется интегралом …
y
4 y=4-x2
-2 0 2 x
1)
2)
3)
4)
4.
Используя свойства определенного
интеграла
можно привести к виду …
1)
2)
3)
4)
5.
Определенный интеграл равен:
1) 9 2) 8 3) -8 4) 5
6.
Определенный интеграл равен:
1) 1 2) 0 3) e 4) -1
7.
Определенный интеграл равен:
1) 2) 3) 1 4) 0
8.
Определенный интеграл равен:
1)
2 2)
3)
1 4) 0
9.
Определенный интеграл равен:
1) 2) 0 3) 1 4) -1
10.
Определенный интеграл равен:
1)
2)
19 3) -5 4)
11. Множество первообразных функции y=4x имеет вид:
1)
2)
3)
4)
12. Множество первообразных функции y=cosx имеет вид:
1) sinx+c 2) -sinx+c 3) cosx+c 4) sinx
13. Множество первообразных функции y=6x2 имеет вид:
1)
2)
3)
4)
14.
Используя свойства определенного
интеграла
1)
2)
3)
4)
15.
Используя свойства определенного
интеграла
1)
2)
3)
4)
16. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
y
y=x2
x
3
2
1)
2)
3)
4)
17. Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
y
2
-2
x
y=-x2+4
1)
2)
3)
4)
18. Площадь криволинейной трапеции определяется интегралом …
y
4 y=4-x2
-2 0 2 x
1) 2) 3) 4)
19. Используя свойства определенного интеграла можно привести к виду …
1) 2)
3) 4)