Тригонометрические функции удвоенного аргумента

Рассмотрим формулы сложения для такого частного случая, когда слагаемые аргумента равны. При этом получим формулы, выражающие тригонометрические функции двойного угла 2 через тригонометрические функции одинарного угла :

Таким образом, формулы для тригонометрических функций удвоенного аргумента при /2+ , /4+ / , имеют следующий вид:

Формула для косинуса удвоенного аргумента может выглядеть иначе:

Итак, получены формулы, позволяющие косинус удвоенного аргумента выражать только через косинус или только через синус этого аргумента:

3. Простейшие тригонометрические уравнения

Уравнение вида sin x = α

Решение простейшего тригонометрического уравнения sin x = a имеет вид:

х = (-1)^karcsinα + πk, где k Є Z

Пример:

а) sin x =

х = (-1)^karcsin + πk

х = (-1)^k + πk, k€Z

б) sin x =

х = (-1)^karcsin(- )+ πk

х = (-1)^k(- +πk

х = (-1)^k+1 +πk, k Є Z

Частные случаи:

1. sin x = 0 х = , k € Z

2. sin x = 1 х = + 2πk, k Є Z

3. sin х=-1 x =- 2πk, k € Z

Пример:

a) sin 2x =-1

2x =- 2πk

х=-

х=- , k € Z

б) sin x=3 нет решения т.к. 3>1

в) sin(2x+ ) = 0

2x+ = πk

2x = - πk

x = - + , k€Z

Уравнение вида cos x=α

Решением простейшего тригонометрического уравнения вида cos x=α является:

х = arccos α + 2 , k € Z

Пример:

1) сos x =

х =

x= , к€Z

2) cos x= -

х= , k€Z

Частные случаи:

1) cosx =1

х= 2πĸ

2) cosx =0

х =

3) cosx= -1

х = π + 2πĸ,ĸ Є z

Уравнения вида tg x = a

Решением простейшего тригонометрического уравнения вида tg x=α является:

x=arctg a + πk, k€Z

Пример. tg =1

Решение. = arctg 1 + πk

= + πk

x = + 2πk, k€Z

Задания для самостоятельной работы: 1. Решите уравнение cos 2x=-1 1) 2) 3) 4) 2. Найдите значение выражения , если 1) 1,3 2) 0,7 3) -1,7 4) -0,5 3. Найдите значение выражения , если 1) 0,5 2) -1,5 3) 1,25 4) -0,5 4. Решите уравнение 1) 2) 3) 4) 5. Вычислите tga, если 1) 2) 3) 4) 6. Вычислите значение sina, если и 1) 2) 3) 4) -1 7. Вычислите sin 2100 1) 2) 3) 4) 8. Вычислите cos (-3000) 1) 2) 3) 4)

9. Вычислите 4 sin

1) 2) 3) 1 4)

10. Решите уравнение cos 2x=1

1) 2) 3) 4)

11. Решите уравнение

1) 2)

3) 4)

12. Решите уравнение

1) 2)

₃₎ 4)

13. Решите уравнение 2cosx=-1

1) 2)

3) 4)

14. Решите уравнение

1) 2)

3) 4)

15. Решите уравнение

1) 2)

₂₎ 4)

16. Решите уравнение

1) 2)

3) 4)

17. Решите уравнение

1) 2)

3) 4)

18. Решите уравнение 11sin5x=0

1) 2)

3) 4)

19. Решите уравнение

1) 2)

3) 4)

20. Укажите наименьший положительный корень уравнения

1) 15⁰ 2) 7,5⁰ 3) 105⁰ 4) 10⁰