Задания для самостоятельной работы

1. 2^х + 2^{х + 1} = 6

2. 5^{х + 1} + 5^х + 5^{х – 1} = 31

3. 27^1-х =

4. 5^3х = 25^{х + 0,5}

5. 8^х = 4^{ж – 1}

6. 216^{3х + 1} =

7. 49^{х + 1} =

8. 2^3х =

9. 13^х = 1

10. =

11. 4•3^{х + 2} + 5•3^{х +1} - 6•3^х = 5

12. 3^{х + 2} - 5•3^х = 36

13. 5^{2х – 1} + 5^{ж + 1} = 250

14. 9^х - 2•3^{х +1} – 27 = 0

15. 9^{х =}

16. 16^{2х + 1} = 8^{3 – 2х}

17. 3^х + 3^{х + 1} = 4

18. 4^х - 5•2^х - 24 = 0

19. 2^2х - 3•2^х + 2 = 0

20. 2^х + 2^{х + 1} 6

21. 3^2х - 4•3^х + 3 = 0

22. 81^{1 – 2х} = 27 ^{2 – х}

23. 7^{х + 2} - 14•7^х = 5

24. 2^{х + 4} – 2^х = 120

25. 2^{х + 3} + 2^{х + 1} - 7•2^х = 48

26. = 27^{х + 3}

27. 10•5^{х -1} + 5^{х + 1} = 7

28. 7^х - = 6

29. 4 ^{5х + 1 =}

30. 3^{х + 2} + 3^х = 810

31. 8^{2 + 3х} =

32. 81^{1 – 2х} = 27 ^{2 – х}

33. 3^{х + 2} + 3^{х + 1} + 3^х = 39

34. 2^5х = 4 ^{2х + 1}

35. 5^2х - 6•5^х + 5 = 0

36. 7^2х - 8•7^х + 7 = 0

37. 2 ^{7 – 5х} =

38. = 36^{х – 1}

39. 5^х + 5 ^{х + 1} 30

40. 4 ^х + 4 ^{х + 1} 80

41. 3^х+3^х+1 12

3. Логарифмы и их свойства

Логарифмом числа b по основанию a ( b  > 0, ) называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Равенство означает, что Из определения логарифма получаются следующие важные равенства: Эти тождества следуют из равенств и

Логарифм по основанию 10 имеет специальное обозначение и называется десятичным логарифмом. Для десятичных логарифмов справедливы равенства:

lg 1 = 0, lg 0,1 = –1, lg 10 = 1, lg 0,01 = –2, lg 100 = 2, lg 0,001 = –3

Логарифм по основанию e имеет в математике большое значение. Число e приблизительно равно 2,7. Более точное выражение: Однако само число e является иррациональным. Для логарифма по этому основанию также существует специальное обозначение и название натуральный логарифм.

Пример 1

Вычислите: 1) 2) 3)

Решение:

1) так как

2) так как

3)

Ответ. 1) 2) 4; 3)

Пример 2

Вычислите: 1) ; 2) .

Решение:

1. так как

2)

Ответ. 1) −3; 2) −3.

3.4 Логарифмические уравнения и неравенства

При решении логарифмических уравнений и неравенств пользуются свойствами логарифмов, а также свойствами логарифмической функции

y=log_ax, a > 0, a 1:

1) Область определения:  x > 0;

2) Область значений:  y R;

3)  log_ax₁=log_ax₂ x₁=x₂;

4) При a>1 функция y=log_ax возрастает, при 0 < a < 1 функция y=log_ax убывает при всех x > 0, т.е. a>1 и  log_ax₁>log_ax₂ x₁>x₂, 0 <a< 1 и log_ax₁>log_ax₂ x₁<x₂;

При переходах от логарифмических уравнений (неравенств) к уравнениям (неравенствам), не содержащим знака логарифма, следует учитывать область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (неравенства).

При решении логарифмических уравнений во многих случаях приходится использовать свойства логарифма произведения, частного, степени. В тех случаях, когда в одном логарифмическом уравнении имеются логарифмы с различными основаниями, применение указанных свойств возможно лишь после перехода к логарифмам с равными основаниями. Кроме того, решение логарифмического уравнения следует начинать с нахождения области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения, т.к. в процессе решения возможно появление посторонних корней. Завершая решение, не забудьте проверить найденные корни на принадлежность ОДЗ. Решать логарифмические уравнения можно и без использования ОДЗ. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

Пример.

a) log₃(5х – 1) = 2.

Решение: ОДЗ: 5х–1>0; х>1/5. log₃(5х–1)=2, log₃(5х–1)=log₃3², 5х-1=9, х = 2.

Ответ: 2.

б) log₂(х – 5) + log₂(х + 2) = 3.

Решение:

ОДЗ:

log₂(х–5)+log₂(х+2)=3, log₂((х–5)(х+2))=log₂2³, (х–5)(х+2)=8, х²–3х–18=0, х₁=6 (5;+ ); х₂= –3 (5; + ),

следовательно, х= -3 - посторонний корень.

Ответ: 6.

в) log₂х – 2 log_х2 = –1

Решение:

ОДЗ: x > 0, х ≠ 1

Используя формулу перехода к новому основанию, получим

Обозначим

Ответ:

Задания для самостоятельной работы

1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) 2) (-2;-1) 3) [1;0] 4)

2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-2;0) 2) (0;4) 3) (-4;-2) 4) (4;10)

3.

1) (-7;-5) 2) (-5;0) 3) (0;5) 4) (5;7)

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) [-4;-1) 2) [-1;3] 3) (3;6] 4) (6; )

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-20;-4) 2) (0:4) 3) (-4;0) 4) (4;20)

6. Какому промежутку принадлежит корень уравнения

1) (3;4) 2) [2;3] 3) (1;2) 4) [0;1]

7. Какому промежутку принадлежит корень уравнения

?

1) (0;1) 2) (1;3) 3) (3;6) 4) (6;11)

8. Найдите значение выражения

1) 0 2) -1 3) 2 4) 1

9. Укажите значение выражения

1) 3 2) 2 3) 4)

10. Найдите значение выражения

1) 1 2) 7 3) 6 4) -1

11. Найдите значение выражения

1) 4 2) 7 3) 1 4)

12. Найдите значение выражения

1) 3 2) 2 3) 4)

13. Найдите значение выражения

1) 32 2) 3 3) 16 4) 6

14. Упростите выражение

1) 1000 2) 3 3) 265 4) 2

15. Укажите значение выражения

1) 2 2) 8 3) 4)

16. Найдите значение выражения

1) 5 2) -2 3) 4) 2

17. Упростите выражение

1) 2) 1 3) 4) 6

18. Вычислите:

1) 3 2) -1 3) 1 4) 0

19. Упростите выражение

1) 2) 1 3) 4)

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1.

1. 2^-х = 16

2. 3^2х - 5•3^х + 6 = 0

3. lg(x+3) = 2lg5

4. log₃(5x-6) log₃2

5. 3^x+2 + 9•9^x 810

Вариант 2.

1. 3^-х = 81

2. 7^2х - 6•7^х + 5 = 0

3. lg(x+1) = lg(х-5)

4. log (2x+1) -2

5. 3^2х- 5•3^x - 6

Вариант 3.

1. 2^-х = 32

2. 3^2х - 8•3^х - 9 = 0

3. log₂(7x-4) = log₂13

4. 2lg6 – lgx 3lg2

5. 2^2х- 3•2^x - 2

Вариант 4.

1. 9^х = 27

2. 3^2х - 3^х - 72 = 0

3. lg(x+4) = lg(х-5)

4. log x -1

5. 4^х+1+ 19•2^x 5

Вариант 5.

1. 2^х+1 = 32

2. 3^2х - 8•3^х - 9 = 0

3. log₃(12-5x) = 2

4. 2lgx l

5. 4^х+ 2^x+3 20

Вариант 6.

1. =

2.8•2^2х - 9•2^х + 1 = 0

3. log₅(12х+7) = log₅(2х – 5)

4. lg(2х + 1) 0

5. 3^2x+1 + 3^х+2 6

Вариант 7.

1. =

2. 3^2х - 3^х - 72 = 0

3. lg(x+3) = lg2

4. lg81 – lgx lg2

5. 3^2х+2 - 2•3^x 7

Вариант 8.

1. 10^х = 0,001

2. 3^2х - 3^х - 72 = 0

3. lg(x+3) = lg2

4. log₂(1 – 2х) 0

5. 25^х- 6•5^x - 5

Вариант 9.

1. 10^-х = 10000

2. 8•2^2х - 9•2^х + 1 = 0

3. lоg₅(12x+7) =log₅(2x + 5)

4. lg0,64 + lgx lg5

5. 2^3-х +2^x 9

Вариант 10.

1. 2^х = 4³

2. 3^2х - 5•3^х + 6 = 0

3. lg(4x - 2) = 5 lg2

4. log (2 x + 3) -3

5. 3^х+5 27

Вариант 11.

1. 5^х+2 = 125

2. 7^2х - 6•7^х + 5 = 0

3. lg(x + 1) = lg(х – 5)

4. log (2 x ) 2

5. 7^5х+6 1

Вариант 12.

1. 2^-х =

2. 2^х+3 – 2^х = 112

3. lg(x – 2) + lg(x – 3) = lg2

4. log₅(1 – 3x) 2

5. 5^x + 125•5^-x 30

Вариант 13.

1. 10^x =0,001

2. 3^2х - 5•3^х + 6 = 0

3. lg(2 - x) =2 lg4

4. lg2x 2lg7

5. 2^6x+19 16

Вариант 14.

1. 9^x = 27

2. 4^x + 2•2^x – 80 = 0

3. log₃(2x + 1) = log₃ 13

4. log₆(5x - 2) 3 log₆ 2

5. 5^2x-1 + 5^x+1 250

Вариант 15

1. =

2. 7^2х - 6•7^х + 5 = 0

3. 2log₃2 – log₃(x – 1) = log₃5

4. log (2 x + 1) -2

5. 4^x - 10•2^x-1 24

Вариант 16.

1. 2^x+2 = 64

2. 2^х+3 – 2^х = 112

3. lg(2 – x) = 2lg4 – lg2

4. log₆(5x – 2) 3log₆2

5. 2^x + 2^-x+1 – 3 0

Вариант 17.

1. 2^x - 2^x-4 = 15

2. 10^-x = 10000

3. log₃(2x + 1) = log₃13

4. log₂(2x + 1) 4

5. 2^2x - 3• 2^x -2

Вариант 18.

1. 2^x+2 = 64

2. 3^2х - 8•3^х - 9 = 0

3. log (3 x - 1)= -3

4. log₂(1 – 2x) 0

5. 2•9^x – 3^x+1 9

Вариант 19.

1. 2^-х =

2. 3^2х - 3^х - 72 = 0

3. log₃(2x + 4) = log₃25

4. log₂(2x - 1) 3

5. 2^2x - 3• 2^x -2

Вариант 20.

1. 9^x = 27

2. 4^x + 2•2^x – 80 = 0

3. log₃(2x + 1) = log₃ 13

4. log₆(5x - 2) 3 log₆ 2

5. 5^2x-1 + 5^x+1 250