Задания для самостоятельной работы

1. Найдите значение производной функции в точке

1) -96 2) 96 3) -88 4) -104

_{2. Найдите значение производной функции} в точке

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

3. Найдите значение производной функции в точке

1) 2) 3) 4)

4. Найдите значение производной функции в точке

_{5. Найдите производную функции}

1) 2)

3) 4)

_{6. Найдите производную функции}

1) 2)

3) 4)

7. Найти производную функции у=x+sinx

1) у′ = 1-cosx

2) у′ = 1+cosx

3) у′ = cosx

4) у′ = cosx-1

8. Производная функция y = sin8x имеет вид:

1) y′ = -8cos8x

2) y′ = 8cos8x

3) y′ = cos8x

4) y′ = 8sin8x

9. Вторая производная y″(x) функция y(x) = x²-3x-1 имеет вид:

1) y″ = 1

2) y″ = 2

3) y″ = 0

4) y″ = 3

_{10. Найдите производную функции}

1) 2)

3) 4)

11. Найдите значение производной функции в точке

1) -96 2) 248 3) 250 4) -104

_{12. Найдите производную функции}

1) 2)

3) 4)

_{13. Найдите производную функции}

1) 2)

3) 4)

_{14. Найдите производную функции}

1) 2)

3) 4)

_{15. Найдите производную функции}

1) 2)

₃₎ 4)

_{16. Найти производную функции}

1) 2)

3) 4)

_{17. Найдите производную функции}

1) 2)

₃₎ 4)

_{18. Найдите производную функции}

1)

2)

3)

4)

_{19. Найдите производную функции}

1)

2)

3)

4)

_{20. Найдите производную функции}

1)

2)

3)

4)

Задания для самостоятельной работы

Найдите производную сложной функции:

1. 16.

2. у=

3. 17.

4. у= 18.

5. 19.

6. 20.

7. 21.

8. 22.

9. 23.у=

10. 24. у=

11. 25.

12. 26.

13. 27.

14. 28.

15. 29.

30.

Вопросы для самоконтроля

1. Чему равна производная постоянной?

2. Чему равна производная аргумента?

3. Как вычисляется производная алгебраической суммы функции, произведения и частного?

4. Какую функцию называют сложной? Приведите примеры сложных функций

8.2 Исследование функции при помощи производной

Задание 1. Исследовать функцию и построить её график методами дифференциального исчисления.

Для построения графика функции нужно:

1) найти область определения функции;

2) найти область непрерывности функции и точки разрыва;

3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность;

4) найти точки пересечения графика с осями координат;

5) найти асимптоты графика функции;

6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции;

7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Функция определена при всех , кроме х = 2; её график пересекает оси координат в одной точке (0,0).

Функция положительна при х > 0, х ≠ 2 и отрицательна при х < 0.

Функция разрывна в точке х = 2, и поскольку , прямая х = 2 – вертикальная асимптота графика.

Из того, что , следует, что при х→∞ график имеет наклонную асимптоту .

Используем необходимый признак экстремума. Вычислив первую производную и приравнивая её нулю , находим критические точки х₁ = 0; х₂ = 6.

Экстремумы могут быть только в этих точках. Чтобы выявить, реализуются ли экстремумы в этих точках, используем второй достаточный признак экстремума. Так как , и , , то в точке х = х₁ = 0 функция не имеет экстремума. Так как , то точка х = х₂ = 6 является точкой минимума, .

Точки х = 0, х = 2, х = 6 разбивают числовую ось на интервалы (-∞,0), (0,2), (2,6) и (6, +∞), причем в интервалах (-∞,0), (0,2) и (6,+∞), следовательно, в этих интервалах функция возрастает; в интервале (2,6), следовательно, в этом интервале функция убывает. В точке х = 2 производная не существует.

Используем необходимый признак существования у функции точек перегиба. Так как , , то точкой перегиба функции может быть только х = 0. Чтобы выявить, является ли точка х = 0 точкой перегиба функции, используем второй достаточный признак существования у функции точки перегиба. Поскольку , , то х = 0 является точкой перегиба функции.

При , следовательно, функция выпукла вверх, поэтому её график при х→-∞ приближается к асимптоте снизу. При и при , следовательно, функция выпукла вниз. Отсюда следует, что при х→+∞ график приближается к асимптоте сверху. В точке х = 2 вторая производная – бесконечная.

Вычислив ещё несколько точек графика, на основе произведенного исследования делаем более точный рисунок.