3.4.5.2. Передискретизация

П

Рис. 3.13. Дискретизация с использованием низкочастотного фильтра и критерий Найквиста

ри классическом подходе к процессу дискретизации (рис. 3.13) эффективное значение шума квантования, попадающего в полосу от 0 до F₀/2, составляет (Q — вес младшего разряда, F₀ — частота следования выходных отсчетов). (Это верно, если ошибка – шум квантования – случайная величина, подчиняющаяся случайному закону распределения, что соблюдается если шаг квантования достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения входного сигнала см. 1.2.2). Здесь значительная часть шума квантования попадает в рабочую полосу частот. При соблюдении условия теоремы Котельникова (полоса частот полезного сигнала меньше либо равна F₀/2) аналоговый фильтр на входе преобразователя должен обладать высокой крутизной спада АЧХ за полосой пропускания, для эффективного ослабления высокочастотных шумов и помех, которые могут проникать в рабочую полосу в результате интерференции с гармониками частоты дискретизации. В подавляющем большинстве случаев это активный ФНЧ. Но добиться удовлетворительного коэффициента гармоник у таких фильтров — весьма непростая задача, так же как и малых фазовых искажений. Тут можно столкнуться с глубоким противоречием.

Другой способ улучшения разрешения преобразователя — передискретизация (рис. 3.14). При этом входной сигнал квантуется с частотой KF₀ (K — отношение передискретизации), а выходной цифровой поток следует уже с темпом F₀. Мы можем видеть два новых элемента схемы: цифровой фильтр и дециматор (устройство снижения темпа следования отсчетов). Шум квантования в полосе частот от F₀/2 до (KF0/2) подавляется цифровым фильтром в выходном потоке. Это приводит к улучшению отношения сигнал-шум на величину, равную 10Log₁₀(K) (см. раздел 1.2.2). Кроме того, можно добиться малой неравномерности АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра и высокой л

Рис. 3.14. Передискретизация при аналоговой и цифровой фильтрациях

инейности. Сам же аналоговый фильтр вырождается в простое RC-звено. К сожалению, цена за сверхразрешение высока, потому что для улучшения отношения сигнал-шум на 6 дБ (1 бит) требуется соответственно увеличить коэффициент передискретизации в 4 раза. Для сохранения значения этого коэффициента в разумных пределах необходимо формировать спектр шума квантования так, чтобы основной шум был между F₀/2 и KF₀/2 и только малая часть в области между 0 и F₀/2. Эту функцию и выполняет сигма-дельта модулятор. После такого формирования цифровой фильтр легко подавит значительную часть энергии шума квантования, и общее отношение сигнал-шум, определяющее динамический диапазон, ощутимо возрастет.

3.4.5.3. Сигма-дельта преобразователи и формирование шума квантования

Блок-схема сигма-дельта АЦП первого порядка представлена на рис. 3.15. Входная (аналоговая) часть такого класса приборов — сигма-дельта модулятор, который преобразует входной сигнал в последовательный непрерывный поток нулей и единиц, следующих с темпом KF₀.

М

Рис. 3.15. Сигма-дельта АЦП первого порядка

Рис. 3.16. Формы сигналов сигма-дельта модулятора

ы видим замкнутую цепь обратной связи: вычитающее устройство, интегратор, компаратор (1-битовый АЦП), 1-битовый ЦАП. Этот ЦАП принимает последовательный поток данных, а выходное воздействие ЦАП вычитается из входного сигнала. Из теории обратной связи следует, что средняя величина напряжения на выходе ЦАП может достигать того же значения, что и на входе модулятора, при достаточном петлевом усилении. Интегратор может быть представлен в рабочем диапазоне частот как фильтр, амплитуда отклика которого пропорциональна 1/f, где f — частота входного воздействия. Компаратор синхронизируется тактовыми импульсами, следующими с частотой (KF₀), преобразуя медленный входной сигнал в сигнал переменного тока высокой частоты, которая меняется в зависимости от среднего значения напряжения на входе. Таким образом, эффективное значение шума квантования на низких частотах пренебрежимо мало, а интегратор выступает в роли «фильтра высоких частот» для шума квантования. Распределение спектра результирующего шума сильно зависит от скорости квантования, постоянной времени интегратора и точности балансировки обратной связи по напряжению.

Для различных входных величин в одном интервале квантования данные от 1-битового АЦП мало что значат. Только когда накоплено большое число отсчетов, мы получим результирующее значение. Если входной сигнал близок к положительному краю полной шкалы, ясно, что в битовом потоке на выходе будет больше единиц, чем нулей, и наоборот, если сигнал ближе к отрицательному краю полной шкалы, то в выходном потоке будет больше нулей, чем единиц. Для сигнала, близкого к середине шкалы, количество нулей и единиц примерно одинаково. На рис. 3.16 показано выходное состояние интегратора для двух входных условий. Первое — для нулевого входного воздействия (середина шкалы), второе — для некоторого положительного воздействия.

Для декодирования выходного потока пропустим выходные отсчеты через простой цифровой фильтр низкой частоты, который усредняет только по четырем отсчетам. На выходе фильтра будет 2/4. Это значение соответствует нулю. При большем накоплении отсчетов достигается более широкий динамический диапазон. Например, накопление 8 отсчетов даст 4/8 (3-битовое разрешение). На нижней диаграмме накопление, проведенное для 4 отсчетов, даст 3/4, а для 8 — 6/8.

Как уже ранее отмечалось сигма-дельта АЦП можно также рассматривать как синхронный преобразователь напряжения в частоту и следующий за ним счетчик. Число единиц, подсчитанное в заданном количестве отсчетов выходного потока данных, счетчик выдаст как цифровое значение входного воздействия. Однако прямой метод накопления будет работать очень медленно, так как только за 2^N тактов цикла можно достичь N-битового эффективного разрешения. Для повышения скорости преобразования применяют специальные способы распараллеливания процессов.

Дальнейший анализ сигма-дельта АЦП лучше всего производить в частотной области, используя линейную операторную модель замкнутой системы автоматического регулирования — сигма-дельта модулятора (рис. 3.17). Отметим, что здесь интегратор представлен как аналоговый фильтр с заданной передаточной характеристикой H(p). Эта характеристика имеет амплитудную зависимость, которая обратно пропорциональна частоте. Квантователь показан как каскад усиления (пропорциональное звено), предшествующий сумматору шума квантования.

Рис. 3.17. Линейная модель сигма-дельта модулятора

Одним из преимуществ частотного подхода является то, что для описания поведения сигналов можно пользоваться просто алгеброй. Выходная величина Y может быть представлена как разность (X-Y), умноженная на передаточную функцию аналогового фильтра, умноженная на коэффициент передачи усиливающего звена и затем сложенная с шумом квантования Q. Если положить коэффициент передачи, равным G, а передаточную функцию представить как 1/p, то в результате математических преобразований получим:

Отсюда следует, что на частоте, равной 0, Y будет равен только X. При увеличении частоты величина Х уменьшается, а величина шумовой компоненты увеличивается. Таким образом, рассматриваемый модулятор действует как ФНЧ на сигнал и как ФВЧ на шум квантования. Поэтому такие модуляторы с фильтрами часто называют шумообразующими. Это иллюстрирует рис. 3.18.

Рис. 3.18. Распределение шума квантования

Рассмотрим вопрос о соотношении сигнал-шум в сигма-дельта модуляторе подробнее. Рассматривая его линейную модель в частотной области p=j (см. рис. 3.17) можно записать:

Таким образом, шумовая составляющая (слагаемое содержащее q) в выходном сигнале модулятора растет линейно с увеличением частоты (пропорционально j). Отметим, что шум квантования обычного АЦП близок к белому шуму, т.е. имеет равномерное распределение по частоте (его мощность одинакова на всех частотах, что соответствует горизонтальному частотному спектру, простирающемуся до половины частоты передискретизации f₀’/2).

Обычно шумовые характеристики даются в виде графиков u_ш или u_ш², соответственно в единицах «нановольт на корень из Герца» или «вольт в квадрате на Герц» (Горовиц, Хилл):

Определим среднеквадратичное значение шума попадающего в полезную полосу частот B₀ (f₀’/2=KB₀, K – коэффициент передискретизации). Пусть плотность напряжения шума, вызванная только лишь процессом квантования, составляет q.

Значение квадрата плотности шума на выходе модулятора:

Найдем мощность шума в полосе полезных частот 0…B₀:

Полная мощность шума в полосе частот до f₀’/2:

Улучшение отношения сигнал-шум в децибелах в результате передискретизации в K раз в сигма-дельта модуляторах:

Рис. 3.19. Сигма-дельта АЦП второго порядка

Данное соотношение показывает, что отношение сигнал-шум в сигма-дельта модуляторах улучшается на 9 дБ при увеличении коэффициента передискретизации в 2 раза, т.е. характеристика SNR(K) имеет наклон +9 дБ/октава. Отметим, что для простого аналого-цифрового преобразования подобная характеристика имеет наклон +3дБ/октава.