Восстановление аналогового сигнала

Из анализа рис. 1.15, г, вытекает правило восстановления аналогового сигнала: используя фильтр нижних частот, необходимо избавиться от спектральных составляющих с частотой выше f_m. При этом фильтр должен быть настроен так, чтобы ослабление при f_m отсутствовало, а на частоте f₀ - f_m было бы бесконечно большим.

Из изложенного выше можно сделать следующий вывод: исходную функцию можно восстановить с помощью выборочных значений непрерывной, ограниченной по полосе временной функции, если выполняется условие f₀ > 2f_m. Для этого необходимо образовать из выбранных значений последовательность импульсов Дирака и подать их на вход идеального фильтра нижних частот с f_гр = f_m.

Если частоту выборки взять ниже, чем это следует из теоремы о дискретизации, возникает составляющая с разностной частотой f₀ - f < f_m, которая не подавляется фильтром и присутствует на выходе в виде пульсаций (см. рис. 1.15, в).

Практические аспекты использования теоремы отсчетов и выбора частоты дискретизации

При практическом выполнении фильтров возникает проблема, связанная с невозможностью получения импульсов Дирака. Необходимо, как это иллюстрируется рис. 1.14, формировать импульсы с конечными значениями амплитуды и конечной длительностью, т.е. в этом случае не будет выполняться условие предельного перехода (1.17). Подставляя выражение (1.17) в (1.16), получаем для конечного  приближенную импульсную последовательность:

Применяя преобразование Фурье, находим спектр этой последовательности импульсов:

В выражении (1.30) интеграл под знаком суммы представляет собой спектр одиночного импульса с единичной амплитудой и длительностью T₀. Экспоненциальный множитель перед интегралом учитывает сдвиг во времени переднего фронта этого импульса на время t_i=iT₀. Дробь u(t_i)/ представляет собой значение амплитуды i-ого импульса. Воспользовавшись ранее полученным выражением для спектра одиночного импульса длительностью  и амплитудой E (см. соотношение (1.12)), получаем:

Часть последнего выражения, заключенная в фигурные скобки, представляет собой спектр последовательности импульсов Дирака U_(jf) (см. соотношение (1.28). Таким образом, окончательно имеем:

Это тот же спектр, что и для импульсов Дирака, однако с наложением весовой функции вида sinx/x, ослабляющей высокочастотные составляющие. В случае предельного перехода для 0 происходит вырождение в последовательность импульсов Дирака с соответствующим преобразованием спектра в U_(jf) (см. (1.32)). Особенный интерес представляет случай ступенчатой функции (1). Для нее длительность импульса T₀ равна длительности выборки T₀. Отсюда получаем спектр ступенчатой аппроксимации исходного сигнала (1):

Спектр ступенчатой аппроксимации получается умножением спектра последовательности импульсов Дирака на весовую функцию. На рис. 1.16 представлен спектр амплитуд импульсов Дирака и модуль весовой функции. При максимальной частоте спектра сигнала f_m=0,5f₀ имеет место ослабление сигнала с коэффициентом 0,64; при максимальной частоте f_m=0,2f₀, ослабление составляет 0,94. Таким образом, искажения спектра до частоты среза f_m остаются пренебрежимо малыми, если выбрать f₀  5f_m.

Д ля восстановления первоначального сигнала необходим, как показано выше, фильтр нижних частот, который отфильтровывает спектральные составляющие с частотой ниже f_m. Реальный фильтр имеет спад коэффициента усиления конечной крутизны. Чтобы разделить спектральные составляющие, нужно выбрать частоту f₀ также больше 2f_m. Тогда можно добиться того, что на нижней частоте f₀ - f_m ослабление будет достаточно большим. В этой связи даже целесообразно вместо последовательности импульсов Дирака применить ступенчатую функцию, так как соответствующая весовая функция имеет характер фильтра нижних частот (тем более что ее достаточно просто реализовать на практике с помощью подключенного к выходу ЦАП устройства выборки-хранения).

Искажения спектра в полосе пропускания можно устранить, несколько увеличив коэффициент усиления фильтра нижних частот вблизи частоты среза. Для того чтобы на частотах выше f_m добиться достаточного снижения коэффициента усиления, можно рекомендовать выбрать нулевую точку частотной характеристики вблизи частоты f₀ - f_m.

Таким образом установили, что даже для идеализированных сигналов со строго ограниченным частотным спектром, достаточно точное восстановление сигнала по его дискретным отсчетам возможно лишь при выборе частоты дискретизации в 2-2,5 раза выше, чем это следует из соблюдения граничного условия теоремы отсчетов (т.е. f₀=2f_max).

Рассмотрим теперь дискретизацию а также восстановление по дискретам реального сигнала, спектр которого, вообще говоря, не является ограниченным. Напомним, что в идеале при соблюдении условия теоремы отсчетов f₀≥2f_max исходный сигнал восстанавливается по своим дискретам с использованием (1.27), которое в этом случае принимает вид:

Интерполяционный ряд (1.34) носит название ряда Котельникова. Для сигналов со строго ограниченным спектром это выражение является тождеством. Однако спектры реальных сигналов стремятся к нулю лишь асимптотически. Так любой ограниченный во времени непериодический сигнал всегда имеет бесконечный спектр. Поэтому определение верхней границы частотного спектра F_max обычно производится приближенно (например по критерию 90%-ного содержания энергии или средней мощности сигнала).

1) Следовательно, применение равномерной дискретизации к таким сигналам приводит к возникновению в системах обработки информации специфических высокочастотных искажений, обусловленных выборкой (свертка всего первоначального спектра внутрь полосы частот 0…f_дискр/2 – см. «Компьютерра» 11 авг. 1998, с. 23; или см. ниже на этой же странице).

2) Кроме того, и идеальный П-образный фильтр низких частот с граничной частотой F_max, в точности восстанавливающий исходный сигнал в соответствии с (1.34) является физически нереализуемым. Это приводит к проникновению в спектр отфильтрованного дискретизированного сигнала высокочастотных комбинационных составляющих с частотами (f_дискр-F_{сигнала}).

Для уменьшения двух указанных разновидностей высокочастотных искажений необходимо либо увеличивать частоту дискретизации f_дискр=(3…5)f_max, либо использовать перед АЦП дополнительный фильтр низких частот, ограничивающий спектр исходного сигнала перед его аналого-цифровым преобразованием.

Поясним возникновение высокочастотных искажений, обусловленных выборкой (1-ой разновидности) на примере дискретизации звукового сигнала (частотный диапазон 0…20 кГц) на частоте 40 кГц, т.е. при выполнении граничного условия теоремы отсчетов.

Одно из изменений, которое претерпевает спектр сигнала в результате его дискретизации состоит в свертке всего первоначального спектра звукового сигнала, простирающегося примерно от 20 Гц до нескольких сот килогерц, внутрь полосы частот от 0 Гц до половины частоты дискретизации – 20 кГц. Этот процесс изображен на рис. 1.17.

Рис. 1.17. Процесс свертки спектра внутрь частотного диапазона 0…20 кГц

Свертка означает, что все составляющие исходного аналогового сигнала с частотами выше половины частоты дискретизации (а это в основном неслышимые помехи) попадают в слышимый человеческим ухом диапазон частот от 20 Гц до 20 кГц, то есть неслышимые помехи становятся слышимыми, и, таким образом, может резко ухудшиться отношение сигнал/шум.

Все это выглядит весьма непривычно, если не сказать, что вообще противоречит здравому смыслу и упомянутой выше теореме отсчетов! Получается, что происходит дискретизация высокочастотных сигналов с составляющими, лежащими значительно выше не только половины частоты дискретизации, но и самой частоты дискретизации. Однако данное реальное явление иллюстрирует рис. 1.18, на котором показан процесс дискретизации высокочастотного синусоидального сигнала на частоте, которая более чем вдвое ниже частоты самого сигнала.

Рис. 1.18. Дискретизация высокочастотной синусоидальной помехи

Хорошо видно, что период колебаний высокочастотной помехи более чем вдвое меньше, нежели период дискретизации. А период, как известно, обратно пропорционален частоте. Значит, частота помехи действительно больше частоты дискретизации. Кроме того, дискретные отсчеты (толстые черные столбики) высокочастотной помехи полностью совпадают с дискретными отсчетами некоторого низкочастотного сигнала (тонкая плавная кривая на рис. 1.18). Таким образом, после дискретизации высокочастотного сигнала мы получили низкочастотный сигнал. Это и есть эффект свертки высокочастотных помех внутрь частотного диапазона от 0 Гц до половины частоты дискретизации.

Р ассмотренная равномерная дискретизации (при t = const) иногда может приводить к получению избыточных отсчетов, не оказывающих существенного влияния на процесс восстановления исходного сообщения. Например, если функция x(t) мало изменяется на некотором, достаточно протяженном интервале времени Т₀ (как это показано на рис. 1.19), то соответствующие дискретные отсчеты сигнала практически не отличаются друг от друга и, следовательно, нет необходимости использовать все указанные отсчеты для хранения или передачи информации по линии связи. Сокращение избыточной информации возможно на основе способов адаптивной (неравномерной) дискретизации, обеспечивающих выбор интервала t между соседними отсчетами с учетом фактического изменения характеристик сигнала (в частности, скорости его изменения).