Описание в частотной области

Для исследования частотной характеристики на вход подают синусоидальную последовательность x(t_i) = x₀sin(t_i). Если система линейна, на выходе также возникнет синусоида. Отношение амплитуд, как и в аналоговых фильтрах, равно значению передаточной функции. Линейность цифрового фильтра следует из линейности дифференциального уравнения. Таким образом, согласно формуле (4.1), фильтр на рис. 4.1 линеен.

Передаточная функция может быть получена, как и в случае аналогового фильтра, расчетом с использованием комплексных переменных. Найдем частотную характеристику элемента задержки. Для гармонического входного сигнала

получается гармонический выходной сигнал

и с учетом j=р передаточная функция имеет вид

Эта функция периодическая с периодом ₀=2/T₀=2f₀. Здесь f₀ – тактовая частота. Введем обозначение

и получим из формулы (4.2) передаточную функцию элемента задержки на один такт в виде

Из ранее изученных курсов (ТОЭ, МАРЭС) известно, что связь передаточной функции А(р), входного сигнала, имеющего произвольную зависимость от времени и сигнала на выходе четырехполюсника с помощью преобразования Лапласа может быть представлена в виде

Это соотношение справедливо и для цифровых систем. Для числовых последовательностей его можно упростить с помощью преобразования передаточной функции (4.4):

Здесь

есть Z-преобразование входной последовательности. Выходная последовательность получается с помощью соответствующего обратного преобразования (54). Функция A(z) называется цифровой передаточной функцией.

Теперь, используя выражение (4.4), можно непосредственно определить передаточную функцию цифрового фильтра, показанного на рис. 4.1. Из соотношения

получаем

Для определения частотной характеристики А(j) подставим в формулу (4.8) , в результате получим:

Ф

Рис. 4.3. АЧХ цифрового фильтра при С₀=-0,75

ункция является периодической с периодом 2f₀. Это свойство — общее для всех цифровых фильтров. Для модуля частотной характеристики имеем:

График этой функции приведен на рис. 4.3. Видно, что эта амплитудно-частотная характеристика в области 0  T₀  , т.е. 0  f  1/2f₀, имеет вид характеристики фильтра нижних частот как мы и ожидали, исходя из переходной характеристики на рис. 4.2.

На основании теоремы о дискретизация для дискретной системы задержки, работающей на частоте f₀, частота синусоидальной последовательности {x(t_i)} выбирается не больше чем 1/2f₀,. В области частот f > 1/2f₀ амплитудно-частотная характеристика устройства уже не имеет вида, присущего фильтру. Если все же желательно использовать такое устройство необходимо заменить цифровой элемент задержки аналоговым элементом задержки (например, линией задержки или фазовым фильтром).

4.2. Цифровая обработка сигналов

4.2.1. Реализация цифровых фильтров

К

Рис. 4.4. Фильтрация непрерывного сигнала с помощью цифрового фильтра.

ак мы видели в предыдущем разделе, с помощью цифрового фильтра входная последовательность {x(t_i)} может быть преобразована в выходную последовательность {y(t_i)} и при этом реализуется желаемая цифровая передаточная функция . Отсюда получается блок-схема, показанная на рис. 4.4. Для того чтобы выполнялись положения теоремы о дискретизации, ограничим полосу частот с помощью аналогового фильтра нижних частот. Посредством элемента выборки-хранения берутся выборки из ограниченного по полосе сигнала с интервалом T₀ = 1/f₀. Эти выборки с помощью аналого-цифрового преобразователя преобразуются в числовую последовательность {x(t_i)} и подаются на вход цифрового фильтра. Выходная последовательность {у(t_i)} может быть обработана далее в цифровой форме или с помощью цифро-аналогового преобразователя и фильтра нижних частот преобразована в непрерывный сигнал. При этом необходимо принять во внимание положения, изложенные в разд. 1.2.1. Дискретизация непрерывных сигналов по времени.