4.2.2. Представление сигналов и основные элементы

Функция цифровой фильтрации реализуется с использованием основных операций, схематически показанных на рис. 4.5:

• суммирование сигналов у(n) = х₁(n) + х₂(n);

• разветвление сигналов у₁(n) = у₂(п) = х(n); (4.10)

• умножение на постоянный коэффициент у(n) = Сх(n);

• задержка на один интервал дискретизации Т₀: у(n) = х(n - 1).

Все эти шаги обработки отсчетов х(n) совершаются во временной области. Для описания процессов преобразования в частотной области используется z-преобразование (обобщенное частотное представление, эквивалентное преобразованию Лапласа):

Рис. 4.5. Основные операции при цифровой обработке сигналов

(4.11)

Тогда приведенные выше шаги преобразования можно записать в виде:

Y(z) = X₁(z) + Х₂(z) – суммирование сигналов;

Y₁(z) = Y₂(z) = Х(z) – разветвление сигналов;

Y(z) = CX(z) – умножение на постоянный коэффициент;

Y(z) =X(z)z^-1 – задержка сигнала.

Расчет частотной характеристики:

Для удобства расчетов аргумент z обычно заменяется выражением

(4.12)

где Т₀ = 1/f₀ – длительность интервала дискретизации. Далее составляется передаточная функция H(z} = Y(z)/X(z) и в нее подставляется выражение z, приведенное выше. Например, дифференциальное уравнение и передаточная функция для схемы на рис. 4.6, а (частный случай a₁=a₀) принимают вид:

Введя сокращение 2fТ₀=T₀= и используя формулу Эйлера z=e^j= cos() +jsin(), получаем выражение для передаточной функции, состоящее из действительной и мнимой составляющих А и jB:

Модуль и фаза передаточной функции при а₁=a₀:

Теперь амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики выражаются в виде:

Видно, что фильтр является низкочастотным. Его амплитудно-частотная характеристика имеет косинусоидальную форму, а фазо-частотная характеристика линейна (фазо-линейными являются цифровые фильтры с симметричными переходными характеристиками; это условие удовлетворяется только в данном частном случае).

4.2.3. Структуры цифровых фильтров Структуры цифровых нерекурсивных фильтров (fir)

Основные структуры цифровых фильтров показаны на рис. 4.6. Нерекурсивный фильтр ("finite impulse response", FIR) – фильтр с однонаправленной цепью передачи («вперед»); его переходная характеристика h(n) имеет конечную длительность.

С Рис. 4.6. Структурные схемы цифрового нерекурсивного фильтра 1-го порядка(а) и 2-го порядка (б) труктуры цифровых рекурсивных фильтров (iir)

Рекурсивный фильтр ("infinite impulse response", IIR)-фильтр, имеющий цепь обратной связи с выхода на вход; его переходная характеристика h(n) имеет бесконечную длительность.

Желательно, чтобы цифровые фильтры имели передаточную характеристику подобную характеристикам аналогового фильтра. Однако это невозможно, поскольку цифровой фильтр (как было показано в 4.1), в отличие от аналогового в диапазоне 0f обладает периодической передаточной характеристикой. Однако у цифрового фильтра используемая полоса частот ограничена соотношением 0ff₀/2. Таким образом, можно потребовать, чтобы частотная характеристика ЦФ сохраняла желаемый вид (как передаточная характеристика аналогового фильтра) лишь до значения половины частоты дискретизации f₀/2.

Для этого можно модифицировать АЧХ аналогового фильтра посредством преобразования оси частот, таким образом, чтобы область 0f отображалась в область 0ff₀/2 и на высоких частотах периодически повторялась (т.е. чтобы АЧХ аналогового фильтра стала похожа на АЧХ цифрового фильтра). Для этого введем вспомогательную переменную f’, такую чтобы соблюдается равенство:

(4.13)

При f∞, как и требуется, f’f₀/2. При f’<<f₀ имеем f≈f’. Следовательно, искажение частотной оси тем меньше, чем больше тактовая частота f₀ по сравнению с интересующим нас диапазоном частот. При синтезе аналоговых фильтров передаточная характеристика всегда представляется через нормированную частоту =f/f_ср (где f_ср — характерная точка АЧХ аналогового фильтра, частота среза или резонансная частота). Для того, чтобы это нормированное представление можно было использовать для вычислений, введем нормированную частоту выборки

(4.14)

Используя выражение 4.13, получаем:

(4.15)

При таком преобразовании, конечно же, произойдет сдвиг характерной частоты фильтра (частоты резонанса, среза). Для того, чтобы эти частоты на логарифмической оси совпадали изменим множитель перед tg в формуле 4.15:

Из формулы 4.15 получаем:

, (4.16)

Где:

(4.17)

(4.18)

При этом ’=1 при =1. Т.е. характерные частоты аналогового и цифрового фильтра совпадают. При этом интерпретируем формально введенную частоту ’ как новую переменную  и обозначаем преобразованную частотную характеристику через H’(j). Очевидно, что полученная характеристика подобна характеристике аналогового фильтра.

Благодаря вышеописанным операциям преобразованная частотная характеристика H’(j) имеет вид, позволяющий реализовать цифровой фильтр. Для расчета цифровой передаточной функции H_ц() теперь необходимо уравнение преобразования комплексной частотной переменной P. Подстановка P=j (=-Pj) в формулу 4.16 (4.18) дает:

Учитывая, что ₀=f₀/f_ср=1/(T₀f_ср), 2P’f_ср=p’ и , получаем:

(4.19)

Итак:

(4.20)

Данное соотношение 4.20 называется билинейным преобразованием.

Таким образом, аналоговый фильтр можно преобразовать в цифровой следующим образом. В выражение для аналоговой передаточной функции H(Р) вместо нормированной комплексной частотной переменной Р подставляем переменную l(z–1)/(z+1) и получаем передаточную функцию H_ц(z), которая может быть реализована в цифровом фильтре. Амплитудно-частотная характеристика имеет в этом случае вид, подобный характеристике аналогового фильтра. Характеристика сжимается по частоте  таким образом, чтобы значение H(j) соответствовало частоте ¹/₂₀. Появляющееся при этом ослабление тем меньше, чем больше ₀ по сравнению с представляющим интерес частотным диапазоном 0<<_max.

Фазово-частотная характеристика, естественно, изменяется сильнее. Следовательно, положения, относящиеся к аналоговой технике, нельзя переносить в область цифровых устройств. По этой причине, например, неразумно аппроксимировать амплитудно-частотную характеристику бесселевыми фильтрами, поскольку линейность фазы в этом случае нарушается. Такую задачу аппроксимации целесообразно решать непосредственно в z-области. При построении цифровых фильтров, как и для аналоговых фильтров, наиболее просто соединять блоки первого и второго порядка.

Расчет цифровых фильтров на заданную частотную характеристику проводится довольно просто с использованием билинейного преобразования. Для этого в передаточную функцию Н(P) аналогового фильтра вместо частотной переменной P подставляется ее выражение через переменную z:

Где f₀ – частота дискретизации, f_ср – частота среза или резонансная частота фильтра. В результате получается передаточная функция H_ц(z) цифровой системы. Так аналоговый фильтр n-го порядка преобразуется в рекурсивный цифровой фильтр того же порядка. Заметим при этом, что частотная характеристика аналогового фильтра в области 0  f_a   неравномерно отображается при реализации соответствующего цифрового фильтра на область 0  f_ц  f₀/2 (здесь f₀ – частота дискретизации), т.е. частотные характеристики аналогового и соответствующего ему цифрового фильтров оказываются различными, особенно в области верхних частот полосы пропускания. Если передаточная функция фильтра H_ц(z) определена, то реализовать ее можно с использованием разных схемных структур, которые, как и в случае аналоговых фильтров, будут обладать присущими им индивидуальными свойствами.

Свойства цифровых фильтров имеют свои пределы, связанные в основном с конечной длиной кодовых слов сигнала, выбором коэффициентов фильтра и элементами схемы, для которых ведется расчет (сумматор, умножитель, ЗУ). Наиболее характерные мешающие факторы:

• чувствительность к разбросу значений (конечная точность) коэффициентов фильтров;

• неустойчивость при перегрузках и малых уровнях сигнала рекурсивных фильтров;

• шумы округления в умножителях, обусловленные ограничением длины кодового слова результата.

Как можно видеть из всего сказанного выше, степень мешающего влияния указанных факторов можно уменьшить, если увеличить в доступных пределах длину кодовых слов внутри цифровой системы и правильно выбирать структуру схем.