1.2.2. Дискретизация по уровню (квантование)

Отличительной особенностью дискретизации по уровню является замена непрерывной шкалы уровней сигнала x(t) дискретной шкалой x_i (i = 1, 2,..., т), в которой различные значения сигнала отличаются между собой не менее чем на некоторое фиксированное (или выбираемое в процессе квантования) значение х, называемое шагом квантования. Необходимость квантования вызвана тем, что цифровые вычислительные устройства могут оперировать только с числами, имеющими конечное число разрядов. Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. При равномерном квантовании (х = const) число разрешенных дискретных уровней х, составляет

Где x_max и x_min — соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала. Чем меньше значение х, тем меньше получаемая ошибка — шум квантования (х) = х - х_i, которая вычисляется как разность между текущим действительным значением сигнала x(t) и его дискретным представлением х_i. Максимальное значение ошибки квантования зависит от правил округления непрерывной величины x(t) до ее дискретного эквивалента x_i:

1. Усечение — если квантование происходит с отождествлением с нижней границей интервала, то (х)_max = х.

2. О кругление — если в результате квантования любое из значений сигнала x(t), попавшее в интервал (х_i –х/2; х_i + х/2), округляется до х_i, то возникающая при этом ошибка (х) не превышает половины шага квантования, т. е. max|(х)| = 0,5х.

На практике шаг квантования х выбирают, исходя из уровня помех, в той или иной форме присутствующих при измерении, передаче и обработке реальных сигналов.

Если функция х(t) заранее неизвестна, а шаг квантования х достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала (x_max – x_min), то принято считать ошибку квантования (х) случайной величиной, подчиняющейся равномерному закону распределения. Тогда при использовании 1-го правила округления плотность вероятности f₁() для случайной величины  принимает значение 1/х внутри интервала (0; +х) и равна нулю вне этого интервала. При использовании 2-го правила округления, как показано на рис. 1.20, плотность вероятности f₂() для случайной величины  принимает значение 1/х внутри интервала (–х/2; +х/2) и равна нулю вне этого интервала. Определим среднюю мощность шумов квантования. Для этого необходимо вспомнить некоторые вероятностные характеристики случайных процессов:

Математическое ожидание (mean value) m_x(t )– теоретическая оценка среднего взвешенного значения случайного процесса плотностью вероятности p(x,t) в момент времени t: .

Как несложно догадаться, (а можно и получить из формулы), для 1-го правила округления математическое ожидание ошибки квантования составит половину шага квантования x/2, для 2-го — 0.

Дисперсия (variance) характеризует среднюю мощность отклонений случайного процесса от его среднего значения m_x(t) (математического ожидания), называемых флуктуациями (fluctuation):

Среднее квадратическое отклонение (standard deviation) – квадратный корень из дисперсии, служит амплитудной мерой разброса значений случайного процесса в момент времени t относительно математического ожидания:

Мощность шумов квантования характеризует дисперсия D() ошибки квантования . Определим ее для первого и второго правил округления:

1)

(1.36)

2)

(1.36)

Найденная величина прямо пропорциональна мощности шума квантования.

При х = const относительная погрешность квантования (x)=(х)/х существенно зависит от текущего значения сигнала x(t). В связи с этим при необходимости обработки и передачи сигналов, изменяющихся в широком диапазоне, нередко используется неравномерное (нелинейное) квантование, когда шаг х принимается малым для сигналов низкого уровня и увеличивается с ростом соответствующих значений сигнала (например, х выбирают пропорционально логарифму значения |х(t)|). Например, при адаптивной разностной компрессии (ADPCM – Adaptive Differential Pulse Code Modulation), используемой при кодировании междугородних телефонных разговоров, шаг квантования разности величин соседних отсчетов пропорционален средней (или максимальной) амплитуде сигнала на кодируемом временном отрезке.

Относительная погрешность квантования также зависит и от количества уровней квантования, которое при представлении квантуемой величины двоичным кодом равно целой степени числа 2: m=2ⁿ (где m – число уровней квантования). Оценим относительный шум квантования, используя для этого логарифмические единицы децибелы (считая что исследуемый сигнал находится вблизи максимума шкалы и округление происходит по 1-му правилу):

Убедиться на практике в такой зависимости шума квантования от разрядности АЦП можно записывая высококачественный музыкальный сигнал с одинаковой частотой дискретизации (44100 Гц) и разной разрядностью кодового слова например 8 бит и 16 бит. В 1-ом случае будет отчетливо слышна зашумленность (грязный звук), во втором качество будет практически неотличимо от оригинала. (Такой эксперимент можно проделать, используя программу «Фонограф» Windows естественно при наличии в компьютере звуковой 16-битной карты и СDROM).

Отдельный интерес представляет вопрос о соотношении разрядности АЦП, частоты дискретизации сигнала и шума квантования. Допустим сигнал x(t) с частотным спектром, ограниченным частотой f_m, оцифровывается с помощью k-разрядного АЦП на частоте дискретизации f₀=2f_m. Условно серию оцифрованных отсчетов сигнала можно представить как сумму точных дискрет сигнала x(t_i) (без ошибок округления) и ошибок округления x(t_i) (шумов квантования), взятых с интервалом 1/(2f_m) по оси времени. Среднеквадратическое значение шума квантования представляет собой кв. корень из дисперсии (величины пропорциональной мощности шумов квантования (см. соотношение (1.36)) и составляет (x – шаг квантования). Причем этот шум располагается в полосе частот от 0 до половины частоты дискретизации 0…f_m. Таким образом, при оцифровке сигналов размахом (удвоенной амплитудой) А в полный рабочий диапазон АЦП, отношение сигнал/шум в децибелах составит:

Д искретизируем теперь сигнал на частоте в 4 раза превышающей исходную, т.е. на частоте f₀’=8f_m. Представляя оцифрованный сигнал в виде суммы точного ряда дискрет и ряда ошибок округления, заключаем, что дисперсия (мощность шума) не изменилась оставшись равной прежней величине . Но теперь в результате увеличения частоты дискретизации этот шум располагается в полосе частот от нуля до половины новой частоты дискретизации 0…4f_m. (см. рис. 1.21). А наш полезный сигнал в оцифрованном виде как и раньше будет иметь спектр, простирающийся до частоты f_m. Таким образом, спектр шума стал в четыре раза шире спектра полезного сигнала при прежней мощности шума. Отсюда следует, что мощность шума внутри спектра полезного сигнала 0…f_m упадет в 4 раза (или среднеквадратичное значение шума уменьшится в 2 раза), а это равносильно увеличению отношения сигнал/шум на 6 дб:

Описанный процесс можно продолжать. При этом каждое увеличение частоты дискретизации в 4 раза создает условия для улучшения отношения сигнал-шум на 6 дб, что равносильно увеличению разрядности АЦП на один двоичный разряд (см. соотношения 1.37, 1.38). Исходя из вышесказанного, уровень шумов принято оценивать по формуле:

,

где n – разрядность АЦП (количество двоичных разрядов), f_m – максимальная частота спектра дискретизируемого сигнала, C_S – постоянная, учитывающая форму сигнала (для гармонических сигналов C_S=1,7 дБ, для обычных звуковых сигналов C_S= –15…+2 дБ). Наличие слагаемого C_S обусловлено зависимостью шума квантования от параметров дискретизируемого сигнала (корреляцией шума с сигналом).

Следует отметить, что указанное увеличения отношения сигнал-шум можно реализовать при условии цифровой фильтрации дискретизированного сигнала перед окончательным восстановлением его непрерывной формы на выходе. С помощью цифрового фильтра с большим ослаблением шума в полосе задержания и узкой переходной полосой (а сделать такой цифровой фильтр не составляет большого труда в отличие от аналогового) можно подавить полосу от f_m до 4ⁿf_m кГц, содержащую только шумы квантования, и получить лучшее на 6n дБ отношение сигнал/шум квантования.

Таким образом, квантователь АЦП не обязательно должен иметь высокую разрядность, чтобы выходной поток цифровых данных АЦП тоже имел таковую. Увеличить эффективную разрядность АЦП можно, используя метод оверсэмплинга (передискретизации) и цифровой фильтрации (см. главу 4).