1.1.3. Преобразование Фурье. Спектры сигналов

Представление сигнала во временной области позволяет определить его параметры, энергию, мощность и длительность. Существуют также формы математического описания, лучше отображающие другие параметры. Нередко уделяется большое внимание изучению частотных свойств сигнала. Для этого используется представление сигнала в частотной области в виде спектра, получаемого на основе математического аппарата преобразования Фурье. Знание частотных свойств позволяет решать задачи идентификации характеристик сигнала (определения его наиболее информативных параметров), фильтрации (выделения полезного сигнала на фоне помех), выбора частоты дискретизации непрерывного сигнала. Одним из важнейших параметров сигнала является ширина его частотного спектра, так как именно этот параметр оказывается определяющим при согласовании сигнала с аппаратурой обработки и передачи информации. Полагая, что сигнал описывается известной функцией времени, т. е. является детерминированным, рассмотрим особенности получения и анализа частотных спектров.

Пусть исследуемый сигнал описывается периодической функцией времени x(t), которая удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной в пределах периода ее изменения Т, а в точках разрыва принимает ограниченные значения. Тогда функцию x(t) можно представить в виде ряда Фурье:

коэффициенты которого определяются по формулам:

Физически такое представление сигнала соответствует выделению постоянной составляющей a₀, первой гармоники с частотой ₁=2 /T и высших гармоник с частотами 2₁, 3₁ и т.д. Распространена и другая форма записи ряда Фурье:

Где постоянную составляющую a₀, амплитуду a_k и фазу _k k-ой гармоники сигнала находят как:

Совокупность значений a_k и _k (k=1, 2, 3,…) называют амплитудным и фазовым частотными спектрами сигнала (спектром амплитуд и спектром фаз), а последовательность операций по нахождению указанных коэффициентов для каждой гармоники сигнала – гармоническим анализом.

Часто удобно использовать ряд Фурье в комплексной форме, выражение для которого несложно выводится при использовании для гармонических функций вещественного аргумента формул Эйлера :

Используя разложение периодической функции x(t) в ряд Фурье, а также свойство ортогональности составляющих его гармонических функций, несложно показать, что средняя за период мощность периодического сигнала при единичном сопротивлении нагрузки определяется соотношением:

Таким образом, средняя мощность сигнала определяется только его спектром амплитуд и не зависит от спектра фаз. Из последнего соотношения (равенство Парсеваля для периодического сигнала) следует, что независимо от формы сигнала если его разложение в ряд Фурье существует, то амплитуда гармоники падает с ростом ее частоты (поскольку мощность конечна).

Рассмотрим частотный спектр периодического импульсного сигнала (рис. 1.4). Пользуясь предыдущими соотношениями несложно получить выражения для амплитудного частотного спектра:

к оторый удобно представить графически в виде отрезков длины a_k, проведенных перпендикулярно оси, на которой наносятся значения частот k₁.

Н а рис. 1.5 приведен график амплитудного частотного спектра исследуемого сигнала для /T = 1/2 (по оси ординат отложены относительные значения амплитуд гармоник a_k/E). Как видно из графика, в спектре сигнала преобладают низкочастотные составляющие. Воспользовавшись формулой (1.5), нетрудно убедиться, что распределение средней мощности сигнала по его гармоникам является следующим: 50%-постоянная составляющая, 40% — первая гармоника, 5% - третья гармоника, 1% - пятая гармоника и т.д. Таким образом, в диапазоне частот (0...2₁) содержится 90 % средней мощности импульсного сигнала, в полосе частот (0…4₁) – 95 % мощности сигнала.

Изменение соотношения между длительностью  и периодом Т следования импульсов приводит к перераспределению указанной мощности сигнала по отдельным участкам спектра — уменьшается удельный вес его низкочастотных составляющих, возрастает удельный вес высших гармоник. На рис. 1.6 показан график амплитудного частотного спектра для  / Т = 1/5. Вычисления показывают, что 90 % средней мощности сигнала содержится в диапазоне частот (0 … 5₁, а 95 % — в полосе (0 … 10₁). Оценивая практическую (эффективную) ширину частотного спектра  по 90%-ному содержанию мощности, можно воспользоваться следующей формулой (см. рис. 1.5 и рис. 1.6):

откуда видно, что  определяется главным образом длительностью прямоугольного импульса .

Частотный спектр непериодического сигнала формально можно получить из спектра соответствующего периодического сигнала, принимая Т в формулах (1.1). В этом случае разность частот между двумя соседними гармониками ₁=2 / T стремится к нулю, т. е. частотный спектр из дискретного (линейчатого) становится непрерывным (сплошным). Если функция x(t), описывающая исследуемый сигнал, на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле и, кроме того, является абсолютно интегрируемой на бесконечном промежутке (-, +), т. е.

то частотный спектр этой функции определяется интегралом Фурье (или прямым преобразованием Фурье):

Для выяснения физического смысла прямого преобразования Фурье (1.8) приведем формулу обратного преобразования Фурье, осуществляющего обратный переход от изображения Х(j) к оригиналу — временной функции х(t):

Отсюда видно, что интеграл Фурье позволяет представить непериодическую функцию x(t) в виде суммы бесконечного числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами А(j) = (1/2)Х(j) и с частотами, занимающими диапазон от – до +. Таким образом, изображение Х(j) характеризует плотность распределения амплитуд гармонических составляющих по отдельным участкам спектра и поэтому нередко называется спектральной плотностью сигнала. Полученное изображение

где Х() = |X(j) — амплитудный частотный спектр; () = arg X(j) — фазовый частотный спектр сигнала (тэта).

При определении энергии сигнала x(t) можно воспользоваться равенством Парсеваля

В левой части равенства записано выражение для полной энергии сигнала W во временной области, в правой — та же энергия, но подсчитанная в частотной области, с учетом характера распределения амплитудного частотного спектра.

Найдем частотный спектр одиночного прямоугольного импульса, принимающего значение Е на интервале [- /2, /2].

Используя (1.8) несложно получить

К ак видно из рис. 1.7, энергия исследуемого сигнала также в основном сосредоточена в области низких частот (90% полной энергии сигнала содержится в диапазоне частот от 0 до =2 /, 95%—в диапазоне частот, не превышающих  = 4 / ). Таким образом, как и в случае периодического импульсного сигнала (см. рис. 1.4), здесь можно говорить о практической ширине частотного спектра , которая влияет на поведение (форму) сигнала.

Если принять, что полоса частот  содержит 90% энергии сигнала, то получаем f = /2 = 1/. Иногда последнее выражение записывают так

 f = 1 (1.13)

и называют его соотношением неопределенностей. Как видно из (1.13), чем короче импульс (меньше ), тем более широкий спектр должен быть сохранен при передаче сигнала, например, по линии связи. Удлинение импульса позволяет обойтись узкополосной линией связи для передачи значительной части энергии сигнала. Для рассмотренного ранее периодического импульсного сигнала полоса частот , подсчитываемая по 90%-ному содержанию мощности, также принимает значение, равное 2 /.