4. Цифровые фильтры

Частотно-зависимую передаточную функцию можно реализовать с помощью пассивных и активных аналоговых фильтров. Варианты реализации таких фильтров рассматривались неоднократно в других базовых дисциплинах специальности ПЭ (ТОЭ, МАРЭС, Электронные цепи и т.д.). Как известно, преобразуемым сигналом являлось напряжение, описываемое непрерывной функцией времени. Сами же схемы фильтров были построены на основе усилителей, резисторов и конденсаторов.

В последнее время все чаще предпочитают производить обработку сигнала не в аналоговой, а в цифровой форме. Преимущество цифровой обработки заключается как в обеспечении большей точности и воспроизводимости результатов, так и в меньшей чувствительности к помехам. Недостатком является большая сложность схемы, однако значение этого фактора по мере возрастания степени интеграции цифровых схем убывает.

При использовании цифровых фильтров вместо непрерывной величины обрабатывается дискретная цифровая последовательность. Цифровой фильтр содержит арифметический блок и память. При переходе от аналоговых фильтров к цифровым необходимо решить два вопроса:

1) как без потери информации представить непрерывное входное напряжение числовой последовательностью;

2) каким образом необходимо преобразовать числовую последовательность, чтобы добиться реализации искомой передаточной функции.

На первый из этих вопросов был дан ответ в пункте 1.2.1. при рассмотрении теоремы Котельникова-Найквиста. Рассмотрим теперь второй вопрос.

4.1. Цифровая функция передачи фильтра

И з ранее изученных курсов известно, что аналоговые фильтры реализуются на основе интеграторов, сумматоров и элементов, задающих значения масштабных коэффициентов. Переход к цифровым фильтрам производится путем замены интегратора элементом задержки. Такой элемент задержки можно построить, например, на основе регистра сдвига, в котором выбранное значение входной функции сдвигается с частотой выборки f₀,. В простейшем случае задержка осуществляется на один временной интервал T₀. Пример такого цифрового фильтра первого порядка представлен на рис. 4.1. Рассмотрим его работу во временной области.

Описание во временной области

П

Рис. 4.2. Переходная характеристика цифрового фильтра рис. 4.1 для C₀=-0,75 при переходе входного сигнала из 0 в 1.

усть задана временная последовательность {x(t_i)}, которая служит в качестве входного сигнала для устройства, показанного на рис. 4.1. Найдем соответствующую выходную последовательность {у(t_i)}. В момент времени t_i на входе памяти находится числовое значение x(t_i) - С₀y(t_i). Со сдвигом на один такт оно появляется на выходе устройства памяти. При этом для выходной последовательности имеем соотношение:

y(t_i+1)= x{t_i} - C₀y(t_i). (4.1)

Это дифференциальное уравнение подобно дифференциальному уравнению для аналоговой системы. Задавая начальное значение у(t₀), его можно использовать в качестве рекуррентной формулы для вычисления выходной последовательности. В качестве примера выберем у(t₀)=0 и найдем переходную характеристику для С₀ = - 0,75. Она приведена на рис. 4.2. Понятно (из анализа переходной характеристики), что схема является фильтром нижних частот.