Коэффициент вариации

Среднее квадратическое отклонение позволяет установить степень ти­пичности средней, пределы рассеяния ряда, сравнить колеблемость нескольких рядов распределения. Величина среднего квадратического отклонения обычно используется для сравнения колеблемости однотипных рядов, т. е. рядов, харак­теризующих одинаковый признак (например, рост мачьчиков и рост девочек).

Если сравниваются два ряда с разными признаками (рост и масса тела, средняя длительность лечения в стационаре и кратность заболевания и т. д.), то непосредственное сопоставление размеров ст невозможно, так как среднеквад-ратическое отклонение (а) — именованная величина, имеющая единицу изме­рения

Для сравнения колеблемости двух средних величин, выраженных в раз­личных единицах измерения, используется относительная величина — коэффи­циент вариации (Су).

24

Коэффициент вариации вычисляется по формуле:

гу= ст.-.хЮО М '

Чем больше коэффициент вариации, тем большая изменчивость данного ряда. Чем он меньше, тем меньше колеблемость, тем однороднее вариационный ряд, тем типичнее средняя арифметическая величина. Если коэффициент ва­риации менее 10%, признак характеризуется слабым разнообразием; если ко­эффициент вариации от 10 до 20% — средним разнообразием; более 20% — сильным разнообразием. Величина коэффициента вариации более 30% свиде­тельствует о качественной неоднородности совокупности.

Пример 8: по данным специального исследования средний рост мальчи­ков 7 лет в городе N составил 117,7 см (о = 5,1 см), а средний вес — 21,7 кг (о = 2,4 кг). Оценить колеблемость роста и веса путем сравнения средних квад-ратических отклонений нельзя, так как вес и рост — величины именованные, выраженные в разных единицах измерения. Поэтому используется относитель­ная величина — коэффициент вариации:

= 4,3% ;

5,1 х 100 117,7

_ 2,4x100 ,,„.

су веса = ' .— = 11,2%.

21,4

Сравнение коэффициентов вариации роста (4,3%) и веса (11,2%) показы­вает, что вес имеет более высокий коэффициент вариации, следовательно, явля­ется менее устойчивым признаком, чем рост.

Применение средних величин

Средние величины широко применяются в повседневной работе меди­цинских работников, в частности:

1. для характеристики физического развития: рост, вес, окружность груди, динамометрия и т. д.;

2. оценки состояния здоровья человека путем анализа физиологиче­ ских, биохимических параметров организма (уровня артериального давле­ ния, частоты сердечных сокращений, температуры тела, уровня биохимических показателей, содержания гормонов и т. д.);

3. анализа деятельности медицинских организаций, например:

• при анализе работы стационаров вычисляются показатели; среднее число дней работы койки в году, средняя длительность пребывания больного на койке и т. д.;

• при оценке работы амбулаторно-поликлинических организаций — сред­ нее число посещений на одного жителя в год, средняя продолжительность одного случая заболеваемости с временной утратой трудоспособности и т. д.;

4) для оценки работы врачей: рассчитываются среднее число посещений на одного врача, среднее число хирургических операций, среднечасовая нагрузка врача на приеме в поликлинике, среднее число лабораторных исследований и т. д.

25

ОЦЕНКА ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

В статистике выделяют два основных метода исследования — сплошной и выборочный. При сплошном методе объектом исследования является вся сово­купность единиц, представляющих изучаемое явление, которая называется ге­неральной совокупностью. Однако поскольку сплошное исследование являет­ся трудоемким и дорогостоящим, при проведении медико-биологических ста­тистических исследований чаще используется выборочный метод. При этом ис­следование проводится на выборочной совокупности, являющейся частью ге­неральной совокупности, отобранной для обследования и изучения.

Показатели и средние величины, полученные при статистической обра­ботке результатов выборочного исследования, отличаются от данных, которые могли бы быть получены при изучении генеральной совокупности. Обусловле­но это тем, что при выборе единиц наблюдения любым из перечисленных выше способов, возможны ошибки смещения, то есть такие события, появление кото­рых не может быть точно предсказуемым. Эти ошибки являются объективны­ми, неизбежными, вытекающими из самой сущности выборочного исследова­ния. Поэтому при проведении выборочного исследования необходимо оцени­вать достоверность его результатов.

Для определения степени точности выборочного исследования оценива­ется величина ошибки, которая может произойти в процессе выборки. Такие ошибки носят название случайных ошибок репрезентативности (т). Ошибки репрезентативности являются фактической разностью между средними или от­носительными величинами, полученными при проведении выборочного иссле­дования, и аналогичными величинами, которые были бы получены при прове­дении исследования на генеральной совокупности.

Оценка достоверности результатов исследования предусматривает опре­деление:

1. ошибки репрезентативности — т;

2. доверительных границ средних (или относительных) величин в гене­ ральной совокупности;

3. достоверности разности средних (или относительных) величин (по критерию О-

Определение ошибки репрезентативности относительной и средней величин

Вычисление ошибок репрезентативности статистических величин произ­водится следующим образом.

Расчет ошибки репрезентативности (/Им) средней арифметической величины (М) производится по формуле:

Пример 9: в результате измерения веса 200 новорожденных получены следующие данные: средний вес новорожденного (М) составил 3300 г, среднее квадратическое отклонение (а) - 310 г. Определить ошибку репрезентативно­сти веса новорожденных.

Ошибка репрезентативности составляет:

„,_{м = ±}° = ±4=1 = ±21,9 г.

л/и л/200

/Яр = ±

Таким образом, средний вес новорожденных равен 3300 ± 21,9 г. Для расчета ошибки репрезентативности (т_Р) относительной вели­чины (Р) применяется формула:

где Р — соответствующая относительная величина (рассчитанная, например, в процентах, промилле и т. д.); д — величина, обратная Р, и выражена как (100 - Р%), (1000 - ,Ро/оо) и т. д.; и — численность выборки.

Пример 10: Рассчитать ошибку репрезентативности показателя после­операционной летальности в лечебной организации, если известно, что из 290 оперированных умерло 12 больных.

Летальность составит:

^12Х1°°=4,1%.

290

Р = -

4,1 х (100 -4,1)

О шибка репрезентативности показателя:

= 1,16%..

п V 290 Таким образом, послеоперационная летальности равна 4,1 ± 1,16%.

Определение ошибки репрезентативности при малой выборке

В клинических и экспериментальных работах довольно часто приходится использовать малую выборку, когда число наблюдений меньше или равно 30. При малой выборке для расчета ошибок репрезентативности, как средних, так и относительных величин, число наблюдений уменьшается на единицу.

Ошибка средней величины при малом числе наблюдений определяется по формуле:

/Им = ±-

Ошибка относительного показателя при малом числе наблюдений опре­деляется по формуле:

где а — среднее квадратическое отклонение; и — численность выборки.

26

27

Величина ошибки репрезентативности зависит от объема выборки: чем больше число наблюдений, тем меньше ошибка. Однако для получения досто­верных показателей нельзя беспредельно увеличивать число наблюдений. К тому же, конкретные материалы нередко ограничены по численности изучае­мой совокупности. Для оценки достоверности выборочного показателя (сред­ней арифметической величины) принят следующий подход: показатель (или средняя величина) должен в 3 раза превышать свою ошибку; в этом случае по­казатель (или средняя арифметическая величина) считается достоверной.

Пример 11: средняя длительность лечения больных с язвенной болезнью желудка Л/= 18,5 дней, среднее квадратическое отклонение о = ± 2,4 дня, чис­ленность выборки п = 64 человек. Ошибка средней арифметической величины т = ± 0.3. Средняя величина превышает свою утроенную ошибку. Следователь­но, можно считать полученный результат достоверным.

Определение доверительных границ средних и относительных величин

Знание величины ошибки недостаточно для того, чтобы быть уверенным в результатах выборочного исследования, так как конкретная ошибка выбороч­ного исследования может быть значительно больше (или меньше) величины средней ошибки репрезентативности. Для определения точности, с которой ис­следователь желает получить результат, в статистике используется такое поня­тие, как вероятность безошибочного прогноза, которая является характеристи­кой надежности результатов выборочных медико-биологических статистиче­ских исследований. Обычно при проведении медико-биологических исследова­ний используют вероятность безошибочного прогноза 95% или 99%. В наибо­лее ответственных случаях, когда необходимо сделать особенно важные выво­ды в теоретическом или практическом отношении, используют вероятность безошибочного прогноза 99,7% или 99,9%.

Определенной степени вероятности безошибочного прогноза соответствует определенная величина предельной ошибки случайной выборки (А — дельта). Определяется эта величина по формуле:

Д = / х т ,

где / — доверительный коэффициент, соответствующий определенной степени вероятности безошибочного прогноза. Доверительный коэффициент имеет опре­деленные значения: для большой выборки (п > 30) при вероятности безошибочно­го прогноза 95,5% / равен 2, при вероятности безошибочного прогноза 99% — 2,6 и при вероятности безошибочного прогноза 99,7% — 3,0, при вероятности без­ошибочного прогноза 99,9% — 3,3. Для малой выборки (п < 30) его значения оп­ределяются по специальной таблице значений (Стьюдента.

Используя предельную ошибку выборки (Д), можно определить довери­тельные границы, в которых с определенной вероятностью безошибочного прогноза заключено действительное значение статистической величины (сред­ней или относительной), характеризующей всю генеральную совокупность. Другими словами, доверительные границы — это крайние значения возможных

28

отклонений, в пределах которых может колебаться искомая величина (относи­тельная или средняя) в генеральной совокупности.

Для определения доверительных границ используются следующие фор­мулы:

1) для средних величин: Л/_ген = М_Шо. ± *^х "?м ,

где Л/_ге„. — доверительные границы средней величины в генеральной совокуп­ности: Л/_выб. — средняя величина, полученная при проведении исследования на выборочной совокупности; (— доверительный коэффициент, значение которо­го определяется степенью вероятности безошибочного прогноза, с которой ис­следователь желает получить результат; от_м — ошибка репрезентативности средней величины.

2) для относительных величин: Р_ге„. = Р_ВЫ6 ± / х /и_р,

* где .Р_ген — доверительные границы относительной величины в генеральной со­вокупности; Р_аыб — относительная величина, полученная при проведении ис­следования на выборочной совокупности; / — доверительный коэффициент, значение которого определяется степенью вероятности безошибочного прогно­за, с которой исследователь желает получить результат; т_р — ошибка репре­зентативности относительной величины.

Пример 12: при испытании нового лечебного препарата на группе боль­ных 75 человек положительный эффект (/*) был отмечен у 82% пациентов (ошиб­ка репрезентативности т = ± 3%). С вероятностью безошибочного прогноза 95,5% можно утверждать, что при применении этого препарата у всех бальных положи­тельный эффект наблюдался бы с частотой от 76 до 88% (Р ± 2т).

Доверительные границы показывают также, в каких пределах может ко­лебаться размер выборочного показателя в зависимости от причин случайного характера. В нашем примере мы можем полагать с достоверностью 95.5%, что при повторных исследованиях положительный эффект будет колебаться от 76 до 88%.

При малом числе наблюдений (п < 30), для вычисления доверительных границ значение коэффициента I находят по специальной таблице Стьюдента (см. приложение 1). Значения I расположены в таблице на пересечении с из­бранной вероятностью безошибочного прогноза и строки, указывающей на имеющееся число степеней свободы (п\ которое равно я-1.

Пример 13: при использовании нового метода лечения на группе боль­ных (19 человек) получены следующие данные: средняя длительность лечения (М) составила 11 дней, средняя ошибка (т) = ± 1,5 дня.

1. Определяем число степеней свободы: л' = я - 1 = 19 - 1 = 18.

2. По таблице Стьюдента (приложение 1) находим значение /: при веро­ ятности ошибки не более 5% и п' = 18 значение I равно 2,1.

Вывод: с достоверностью 95,5% можно утверждать, что при изучении генеральной совокупности величина средней длительности лечения будет коле­баться в пределах 11 ± 2 х 2,1 дней, то есть от 6,8 до 15,2 дней.

29

Оценка достоверности разности относительных и средних величин

При проведении медико-биологических исследований на двух сравни­ваемых совокупностях возникает необходимость определить не только их раз­личие, но и его достоверность. Например, при сравнении результатов исследо­вания в контрольной и экспериментальной группах, уровней летальности в двух больницах, показателей заболеваемости за два года и т. д.

Метод оценки достоверности разности показателей или средних величин позволяет установить, существенны ли выявленные различия, или они являют­ся результатом действия случайных причин.

В основе метода лежит определение критерия достоверности (1), кото­рый рассчитывается по специальным формулам для средних и относительных величин. Формула расчета критерий достоверности (/) разности:

для средних величин:

, М\-Мг

т? + т\

для относительных величин:

Р\-Рг

где М, и М₂, Р, и Р₂ — статистические величины, полученные при проведении выборочных исследований; от/ и т₂ — их ошибки репрезентативности; / — ко­эффициент достоверности.

При изучении явления на большой выборке разность достоверна при 1>2, что соответствует вероятности безошибочного прогноза 95,5% (при и>30). При / > 3 различия между сравниваемыми величинами достоверны с вероятно­стью безошибочного прогноза 99,7%.

В большинстве медицинских исследований достаточно иметь значение I, равное или более 1,96. Тогда выявленные различия достоверны, не случайны, статистически подтверждены с вероятностью безошибочного прогноза равной или более 95%. При величине коэффициента достоверности к 1,96 степень ве­роятности безошибочного прогноза менее 95%. При такой степени вероятности безошибочного прогноза разность сравниваемых показателей недостоверна. В этом случае необходимо получить дополнительные данные, увеличив число на­блюдений. Если после увеличения численности выборки, и, соответственно, уменьшения ошибки репрезентативности, различие продолжает оставаться не­достоверным, можно считать доказанным, что между сравниваемыми совокуп­ностями не обнаружено различий по изучаемому признаку. В качестве примера 14 сопоставим уровни общей летальности в двух больницах (табл. 8):

1

I

Таблица 8

Летальность в двух больницах за 200.. год

Организации	Количество лечившихся больных	Вт. ч. умерших больных	Летальность (на 100)
Больница 1	4350	261	6,0% (Л)
Больница 2	6760	135	2,0% (Р2)

а) рассчитываем средние ошибки показателей летальности (Р\ и Р₂):

тг =

б) вычисляем критерий достоверности /:

Р\ - Рг 6-2

, = 7,5.

_Л/0,36²+0,17^Г м

Рассчитанный критерий достоверности I равен 7,5, что указывает на дос­товерную разницу уровней летальности в сравниваемых больницах с вероятно­стью безошибочного прогноза более 99,9% (приложение 1).

Для определения достоверности различий между двумя показателями или средними величинами при малом числе наблюдений (п < 30, в каждой группе) критерий достоверности оценивается по таблице значений критерия I Стьюден-та по числу степеней свободы («')• При этом число степеней свободы определяет­ся, как сумма чисел наблюдений в каждой группе без двух (п' = П: + Пг - 2).

Метод оценки достоверности показателей и средних величин широко ис­пользуется при проведении клинико-статистических исследованиях, при срав­нительном анализе данных об эффективности различных методов диагностики и лечения. Он необходим при сравнении данных в динамике, по отделениям, участкам, контингентам больных и т. д. Применение этого метода целесообраз­но при оценке различий в уровнях заболеваемости, смертности, летальности, средней длительности лечения, частоты послеоперационных осложнений, эф­фективности диспансеризации и других интенсивных показателей и средних величин. Этот метод оценки достоверности не рекомендуется применять при анализе показателей распределения (экстенсивных показателей, показателей удельного веса), т.к. величина их зависит от соотношения составных частей внутри совокупностей и сделать вывод о наличии или отсутствии различий на основании экстенсивных показателей нельзя.

Метод оценки достоверности по /-критерию (метод Стьюдента) приме­няют при сравнении двух величин. Если необходимо сравнить большее количе­ство объектов, групп наблюдения, применяют другие методы.

30

31