К проблеме происхождения математических объектов

Д. Гильберт писал: «Объект существует, если он непротиворечив. Доказательства существования сокращают и экономят мысль. Они всегда были вехами математического прогресса». Предмет математики – изучение математических объектов, то есть чисел, форм, фигур, количественных отношений, существующих в природе, обществе, человеческом мышлении. Основной задачей философии математики является вопрос происхождения и статуса этих объектов. Данная проблема, не имеющая однозначного решения, актуальна ныне.

Для теоретической математики главными целями является разработка абстрактных формализованных принципов, средств и методов познания действительности, а для прикладной математики – создание конкретных математических инструментов для исследования и предсказания действительности, организации оптимальных отношений реальных сущностей и явлений. Практическая значимость математики объясняется возможностью отображения реальных количественных отношений действительности. Развитие математических знаний приводит к усложнению математических объектов: современная математика конструирует системы отношений, не существующие в материальном мире. Вопрос об обосновании математических объектов возник в XIX в. в связи с появлением в математике всё более абстрактных понятий и теорий. Это спровоцировало пересмотр математических теорий от системы аксиом до правил доказательства и дало начало философии математики. Исследования конца ХІХ – начала ХХ вв. воплотились в ведущих философских программах: логицизма (Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед), интуиционизма (Т. Веблен, В. Митчелл) и формализма (Д. Гилберт, Дж. Нейман). Однако уже в 1960-х гг. высказывалось много сомнений насчёт выполнимости этих программ и возможности обоснования математики (существования и возникновения математических объектов).

В середине ХХ века возникает ряд «нестандартных» направлений в философии математики, которые являются дополнительными к стандартным (традиционным) подходам или же альтернативными к ним. К таким направлениям можно отнести социальный конструктивизм, в котором математика истолковывается как продукт социальной деятельности, культуры, который изменяется по мере развития общественной практики и (или) культуры (Т. Тимошко, Р. Херш, П. Эрнест). Математика в данном подходе рассматривается как эмпирическая наука, а формирование (возникновение) математических объектов связывается с уровнем социального конструирования.

Такое направление, как контекстуализм, сосредоточило внимание на феномене этноматематики, поисках природы математики в основаниях национальных и этнических культур. Контекстуалисты настаивают на изучении математических реалий в тесной связи со средой существования математических представлений.

Представители такого направления, как фикционализм, интерпретируют математические объекты как не относящиеся к реальности (Х. Филд), т. е. и математика, и математические объекты трактуются как продукты воображения.

Ещё одним развивающимся направлением философии математики является физиологизм (Дж. Лакофф, Р. Нюньез, М. Джонсон, К. Девлин). В его рамках отстаивается тезис о математике как органичном продукте развития средств человеческого познания. Математику трактуют таким образом, что она физиологически (даже на уровне структур мозга) предопределена и вытекает из опыта пересчёта дискретных объектов. Следовательно, математические объекты, как и сама математика, конструируются, а не открываются.

В настоящее время проблема происхождения математических объектов является «открытой». Развитие как стандартных (традиционных), так и нестандартных (нетрадиционных) подходов к решению данной проблемы свидетельствует о её актуальности и научной значимости.

Товстокоренко О.

НТУ «ХПИ»