19. Инерция центрі

Лагранж функциясын

(1)

дифференциалдап, импульсті нүктенің жылдамдығы арқылы жазамыз:

(2)

Жүйенің импульсі нүктелердің импульсінің қосындысына тең

(3)

-физикалық мағынасы , -бөлшегіне әсер етуші күші екенін білеміз. Сонда бүкіл жүйеге әсер етуші қорытқы күш тұйық жүйе үшін нөлге тең екенін көруге болады:

(4)

Яғни Ньютонның үшінші заңы бойынша екі материалдық нүктеден тұратын тұйық жүйедегі екінші бөлшектің бірінші бөлшекке әсер етуші күші мәні бойынша және бағыты бойынша сол бірінші бөлшектің күшіне мәні бойынша тең, ал бағыты бойынша қарама-қарсы. Егер жүйені жалпылама координата арқылы өрнектесек, жалпылама импульс:

. (5)

Ал оның туындысы жалпылама күш деп аталады:

. (6)

Ал осы жағдайлардағы Лагранж теңдеуінің түрі:

. (7)

Егер санақ жүйесі санақ жүйесіне қатысты жылдамдықпен қозғалса, онда олардың импульс мәні әртүрлі болады, яғни болады. Ал сол жүйелердегі материалдық нүктелердің осы санақ жүйесіне қатысты жылдамдықтары:

. (8)

Сондықтан,

(10)

Егер санақ жүйесінде болатындай тұйық жүйе үшін , болса

(11)

. (12)

Дифференциалдық түрде:

. (13)

(10) тұйық жүйенің жылдамдығы. Ол импульстің мәнін бір ғана материалдық бөлшектің массасы: . Сол жүйедегі бүкіл бөлшектердің массасының қосындысына тең болған жағдайда қандай болар еді, соны түсіндіреді. Массалар аддитивті болса (10)-ді былай жазуға болады:

. (14)

Осыны инерция центрі деп атайды.

20. Келтірілген масса Әсерлесуші екі дененің бірін орталық дене деп, оның массасын салыстырмалы түрде үлкен деп алып жүр едік. Мысалы мынадай есептерде екі дененің массалары жуық түрде бірдей болсын (қос жұлдыз, протон-нейтрон, т.б.). Осындай кездерде екі дененің қозғалыс есебін бір дененің қозғалыс есебіне түрлендіруге болады. Тұйық жүйеде осы екі дене тек бір-бірімен ғана әсерлеседі деп қарастырамыз. Массасы дененің радиус векторы , ал массасы дененің радиус векторы . Құраушылары және . Белгілі формула бойынша екі нүктенің инерция центрі:

, (1)

екі нүктенің радиус векторларын бір-бірімен салыстырғанда

. (2)

Енді және табамыз.

(3)

(4)

(5)

(6)

Дифференциалдық түрде:

(7)

Ал кинетикалық энергия:

(8)

(9)

Сонымен:

(10)

Есептің шарты бойынша нүктелерге сыртқы күштер әсер етпегендіктен потенциалдық энергия олардың арақашықтығына ғана байланысты:

(11)

Сонымен Лагранж функциясы:

(12)

(12)-дифференциалдап, координата центріне арналған Лагранж теңдеуін жазамыз: (13) (14)

Лагранж теңдеуінен: (15)

және болғандықтан, (16)

Сонымен, инерция центрі бастапқы санақ жүйесіне қатысты бір қалыпты түзу сызықты қозғалады. Бұл жүйені инерциалды деп аламыз. Себебі осындай жүйелерде екі нүктенің өзара әсерлесу күші тек потенциалдық энергияға ғана тәуелді. Егер екі дененің инерция центрі бекітілген санақ жүйесіне көшсек, тек радиус вектор -ға тәуелді қозғалыс қана қалады: (17)

(18)

Массалары және екі дененің қозғалысы есебін массасы (19)

бір дене есебіне алмастыруға болады. (19)- келтірілген масса деп аталады. Егер деп, инерция центрін қозғалмайтын және тыныштықтағы координатаның бастапқы нүктесіне қойсақ:

(20)

(21)

болады. Сонымен, << болса, << болады да, инерция центрі массасы үлкен денеге жақын болады.