21. Бір өлшемді қозғалыс

Еркіндік дәрежесі бірге тең жүйенің қозғалысын бірөлшемді қозғалыс деп атайды. Осындай жүйенің Лагранж функциясының жалпы түрі:

(1)

мұндағы - жалпылама координата функциясы. Мысалы - декарттық координата болса ,

. (2)

Осы Лагранж функциясына сәйкес қозғалыс теңдеулері жалпы түрде интегралданады. Тіпті бұл жағдайда қозғалыс теңдеулерін жазбай-ақ, энергияның сақталу заңын сипаттайтын теңдеудің бірінші интегралын жазуға болады:

. (3)

Бұл айнымалыларды айыру тәсілімен интегралданатын бірінші ретті дифференциалдық теңдеу:

. (4)

Осыдан

. (5)

Осындай қозғалыс теңдеуін шешкенде екі кез келген айнымалының ролін жүйенің толық энергиясы және интеграл тұрақтысы const атқарып тұр. Мұндағы кинетикалық энергия оң шама болғандықтан, қозғалыс кезінде толық энергия барлық уақытта потенциалдық энергиядан артық болады. Қозғалыс кеңістіктің болатын аймағында ғана болады.

1 – сурет

тәуелділігі 1– суретте берілген. Горизонталь түзу сызық толық энергияның мәнін көрсетеді. Мүмкін болатын қозғалыс аймақтарын көрсететін болсақ, ол тек АВ аймағы және С аймағының оң жағы.

. (6)

Потенциалдық энергиясы толық энергияға тең болатын нүктелер қозғалыс шекарасын көрсетеді. Ол нүктелер аялдау нүктелері деп аталады. Себебі бұл нүктелерде қозғалы жылдамдығы нөлге тең болады. Егер қозғалыс аймағы екі нүктемен шектелген болса, онда берілген кеңістіктегі қозғалыс шектелген болады да финитті қозғалыс деп аталады. Егер қозғалыс аймағы шектелмеген немесе бір жағынан ғана шектелген болса, ол инфинитті қозғалыс болады да, бөлшек шексіздікке кетіп қалады.

Бір өлшемді финитті қозғалыс тербелмелі қозғалыс болып табылады. Бөлшек екі жақты шекараның арасында периодты қайталанатын қозғалыста болады, яғни 7-суретті алатын болсақ бөлшек және нүктелерінің арасында АВ- потенциалды шұңқырда тербелмелі қозғалыста болады. Нүктенің нүктесінен нүктесіне барып, кері қайтатын уақыты - тербеліс периоды Т-ға тең. Ол кесіндісін жүріп өткен уақытты екі еселегенге тең және (3) ескере отырып:

(7)

және шектері (4) теңдеудің түбірі болады.

22.Орталық өрістегі қозғалыс

Екі дене есебін бір дене есебіне келтіруге болады және материалдық бөлшектің қозғалысы кейде сыртқы өрістің әсерінен де болады. Егер материалдық бөлшектің потенциалдық энергиясы тек оның қандай да бір қозғалмайтын нүктеге дейінгі арақашықтығы ға ғана тәуелді болса, ол өріс орталық өріс деп аталады. . (1) Бөлшекке әсер етуші күш –абсолют мәні бойынша тек -ға ғана тәуелді (арақашықтыққа), бағыты бойынша, әрбір нүктеге радиус вектордың бойымен бағытталған. Бұрынырақ айтылғандай, орталық өрісте қозғалатын бөлшек үшін жүйенің өріс центріне қатысты моменті сақталады: (2) және векторлары өзара перпендикуляр болғандықтан, сақталған жағдайда, бөлшектің радиус векторы үнемі -ға перпендикуляр бір жазықтықта болады. Сонымен бөлшектің орталық өрістегі қозғалыс траекториясы түгел бір жазықтықта болады. Онда полярлық координата жүйесін енгізіп Лагранж функциясын жазамыз: .(3) Бұл функцияда -кординатасының айқын түрі жоқ. Егер Лагранж функциясына жалпылама координата -дің қандай да бір түрі енбесе, оны циклдік координата деп атайды: . (4)

Осыған байланысты жалпылама координатаға сәйкес импульс қозғалыс интегралы болып табылады. Осы жағдай циклдік координаталардың көмегімен қозғалыс теңдеуін интегралдауды оңайлатады. болса, жалпылама импульс: , (5) яғни өткен параграфта айтылғандай, импульс моментімен сәйкес болады да, белгілі моменттің сақталу заңын береді: (6) Сонымен орталық өрісте қозғалатын бөлшектің қозғалыс есебін толық шешу үшін энергия мен моменттің сақталу заңын пайдаланамыз. Яғни қозғалыс теңдеуін жазбаса да болады: (9); өрнегінен , (10) осыны қолданып: (11)

. (12)

Бұл өрнекті интегралдасақ: (13)

Моменттің теңдеуі арқылы: , (14) полярлық бұрышқа қатысты теңдеуді аламыз:

(15), (13) және (15) есепті жалпы түрде шешеді. (15) – және арасындағы байланысты көрсетеді, яғни траекторияның теңдеуі. Ал (13) қозғалыстағы нүктенің центрге дейінгі қашықтығын уақыттың функциясы ретінде береді. бұрышы уақытқа тәуелді монотонды түрде өзгереді, ал – таңбасын ешқашан өзгертпейді. (11) теңдеуде қозғалыстың радиалды бөлігін «эффективті» потенциалдық энергиясы бар өрістегі бір өлшемді қозғалыс ретінде қарастыруға болады. ,(16); – шамасы кейде центрге тартқыш энергия деп аталады. (17) центрден - қашықтықтағы қозғалыс шекарасын анықтайды. (17) орындалса – функциясының өсуінен кемуіне траекторияның «бұрылу нүктесін» көрсетеді. Егер -радиус вектордың өзгеруі тек шектелсе, бөлшектің қозғалысы инфинитті болып, траекториясы шексіздіктен келіп шексіздікке кетеді. Егер өзгеру аймағының және екі шектелу нүктесі болса, бөлшектің қозғалысы финитті болып, траектория радиустары және тең болатын дөңгелектің ішінде жатады. Яғни траектория тұйықталған қисық болып табылады. – радиус векторы -нан -ге дейін және қайтадан -ге өзгеретін уақыт аралығында ол бұрышқа ығысады.

(18) Траекторияның тұйықталу шарты болып осы бұрышы болатындай жағдайды аламыз, мұндағы – бүтін сандар. Сонда нүктенің радиус векторы рет периодты қайталанып отырып және рет бүтін айналып өзінің бастапқы мәніне сәйкес келеді де, траектория тұйықталады. Бірақ жалпы түрде -дің рационалды бөлімі емес. Сондықтан мұндай жағдайларда финитті траектория тұйық бола бермейді. Орталық өрістің тек қана екі түрінде ғана финитті қозғалыстардың траекториясы тұйықталады. Бұлар потенциалды энергиясы ~ және ~ - қа пропорционал өрістер болып табылады.