9. Механиканың детерминизмі. Ньютонның қозғалыс теңдеулері
Ньютонның 2-заңы. Қозғалыс мөлшерінің өзгерісі әсер етуші күшке пропорционал және осы күштің бойымен бағытталған.Қозғалыс мөлшері, Ньютонның анықтамасы бойынша, масса мен жылдамдықтың көбейтіндісіне пропорционал. Ал оның уақыт бойынша өзгерісін шамасы арқылы өрнектесек, Ньютонның 2-заңын төмендегіше жазуға болады:
, (1)
егер дененің массасын тұрақты деп есептесек,
. (2)
Ал
үдеу екенін ескерсек, Ньютонның 2-заңын
қысқаша былай айтуға болады: Денеге
әсер етуші күш – масса мен үдеудің
көбейтіндісіне тең. Бұл үдеу мен массаның
арасындағы байланысты береді және
динамиканың негізгі заңы болып табылады.
Ньютонның екінші заңы қозғалысты
тудырушы әсер
күштің – қозғалысты сипаттайтын шамалар:
үдеу, жылдамдық және радиус-вектордың
өзара байланысын тағайындайды. Сондықтан
Ньютонның екінші заңының математикалық
өрнегін қозғалыс теңдеулері деп, ал
заңды механиканың негізгі қозғалыс
заңы деп атайды. Қозғалыс теңдеулерін
векторлық түрде жазу үшін: 4 векторлық
шамаларды қолданамыз:
(қасиеттері Ньютонның 2 және 3-заңдары
арқылы жазылады), қозғалыс мөлшері
,
жылдамдық
,
:
(3)
(4)
(5)
Егер
шамаларын үш өзара перпендикуляр
векторлардың қосындысы арқылы жазсақ,
бұлардың әрқайсысы тік бұрышты
координаттар жүйелеріндегі проекцияларының
мәнін береді:
(6)
(7)
(8)
(9)
таңдап алынған координаттар жүйесінің бірлік векторлары. (3)-(6) пайдаланып қозғалыс теңдеулерін былай жазуға болады:
(10)
(11)
(12)
Осы
жерде күшті нольге теңестірсек, қозғалыс
теңдеулері оңай шешіледі. Динамиканың
негізгі есебі дегеніміз қозғалыс
теңдеулерін шешіп,
траектория теңдеуін алу болып табылады.
Бұл жағдайда әсер етуші күшті беру
жеткіліксіз болғандықтан, нүктенің
бастапқы
уақыт моментіндегі орны мен жылдамдығын,
яғни бастапқы шарттарды тағайындап алу
керек:
;
(13)
Декарттық тікбұрышты координаттар жүйесін қолдансақ:
;
;
(14)
;
Ал әсер етуші күш Ньютонның екінші заңы арқылы, яғни қозғалыс теңдеуі арқылы беріледі.
(15)
Декарттық жүйеде:
(16)
Егер
әсер етуші күш өзінің аргументтері
– нің бірмәнді функциясы болса, осы
(14) қозғалыс теңдеуінің (13) шартты
қанағаттандыратын жалғыз ғана шешімі
болады.
Материалдық
нүктенің
орнының және
жылдамдығының берілуі оның механикалық
күйінің берілуі болып табылады. Жоғарыдағы
қозғалыстың дифференциалдық теңдеуінің
шешімінің бірмәнділігін былай
түсіндіреміз: Материалдық нүктенің
уақыт моментіндегі механикалық күйі
оның бастапқы механикалық күйімен және
қозғалысының шартымен бірмәнді
анықталады.Осы жердегі нүктенің қозғалу
шарты ретінде біз оның айналасындағы
денелермен (11) теңдеудің оң жағындағы
қорытқы күш
арқылы өрнектелген әсерлесуі деп
түсінеміз.Осы айтылған ұғым механикалық
салдарлы принципі немесе механиканың
детерминизмі
деп аталады.
10. Бірінші, екінші қозғалыс интегралдары
Динамиканың негізгі есебі дегеніміз қозғалыс теңдеулерін шешіп, траектория теңдеуін алу болып табылады. Бұл жағдайда әсер етуші күшті беру жеткіліксіз болғандықтан, нүктенің бастапқы уақыт моментіндегі орны мен жылдамдығын, яғни бастапқы шарттарды тағайындап алу керек:
; (1)
Декарттық тікбұрышты координаттар жүйесін қолдансақ:
;
; (2)
;
Ал әсер етуші күш Ньютонның екінші заңы арқылы, яғни қозғалыс теңдеуі арқылы беріледі.
(3)
Декарттық жүйеде:
(4)
Егер
әсер етуші күш өзінің аргументтері
– нің бірмәнді функциясы болса, осы (2)
қозғалыс теңдеуінің (1) шартты
қанағаттандыратын жалғыз ғана шешімі
болады.Материалдық нүктенің
орнының және
жылдамдығының берілуі оның механикалық
күйінің берілуі болып табылады. Жоғарыдағы
қозғалыстың дифференциалдық теңдеуінің
шешімінің бірмәнділігін былай
түсіндіреміз: Материалдық нүктенің
уақыт моментіндегі механикалық күйі
оның бастапқы механикалық күйімен және
қозғалысының шартымен бірмәнді
анықталады.Осы жердегі нүктенің қозғалу
шарты ретінде біз оның айналасындағы
денелермен (12) теңдеудің оң жағындағы
қорытқы күш
арқылы өрнектелген әсерлесуі деп
түсінеміз.Осы айтылған ұғым механикалық
салдарлы принципі немесе механиканың
детерминизмі
деп аталады. Онда
математикалық функциясы – материалдық
нүктенің бастапқы механикалық күйі
және бастапқы қозғалыс шарты болып
табылады. Осы механикалық күйдің
барлық уақыт моментіндегі механикалық
күйінің өзгертуші себебі ретінде
түсіндіріледі. Яғни бастапқы шарттар
– себеп, қозғалыс – салдары болып
табылады.Егер (2) – қозғалысының екінші
дәрежелі дифференциалдық теңдеуін
декарт осінде проекцияларын интегралдасақ:
(5)
Мұндағы
– интегралдық тұрақтылар болса, (5)
қозғалыстың бірінші интегралы болады.
Кейде
– функцияларын да бірінші
қозғалыс интегралдары
деп те атайды. Осындай функциялар бүкіл
қозғалыс кезінде (яғни нүктенің координата
мен жылдамдығының өзгеруі кезінде)
тұрақты болады да
– интегралдық тұрақтысына тең болып
қалады.
– интеграл функциялары деп аталады.
Теңдеуді одан әрі шешу үшін екінші рет интеграл аламыз:
(6)
.
ендеше
(7)
(7)-теңдеулер
қозғалыстың екінші интегралы болып
табылады.
– екінші интегралдың функциялары
болады.(7) жүйесін нүктенің координатасына
тәуелді шешетін болсақ:
(8)
Бұл
функциялар қозғалыстың дифференциалдық
теңдеулерінің шешімдері болып табылады.
Олардың алты интегралдық тұрақтылары
бар және бұл функциялар қозғалыс
теңдеуінің жалпы шешімі болып табылады.
Осы теңдеудің жалпы шешімін табу
дегеніміз динамиканың негізгі есебін
түгел шығару болып табылады.
уақыт моментіндегі бастапқы шарттарын
орнына қойып
–бірінші интеграл тұрақтыларын табамыз:
(9)
Содан
кейін,
(7) орнына қоямыз да, екінші интеграл
тұрақтыларын табамыз.
(10)
Сонымен және деген шамаларға тәуелді кейбір функциялар қозғалыс кезінде өзінің бастапқы шарттарға тәуелді осы мәндерін сақтап қалады. Осы функциялар қозғалыс интегралдары деп аталады.