14.Гамильтон функциясы. Оның физикалық мағынасы
Лагранж функциясынан жылдамдық бойынша дербес туынды алатын болсақ, қозғалыс мөлшерінің шамасы шығады:
(1)
Лагранждың теңдеуі координатаға тәуелді екінші ретті дифференциалды теңдеу болса, Гамильтон теңдеулері импульспен координатаға тәуелді бірінші дәрежелі дифференциалды теңдеулер жүйесі болып табылады. Берілген нүктенің орнын анықтайтын – геометриялық және қозғалыстың күйін сипаттайтын – динамикалық болып айнымалының екі түрінен жасалған энергияның негізгі функциясы болып табылатын механиканың есебін Гамильтон шешті. Ал енді, осы механиканың Гамильтон формасындағы есебін шешіп көрейік. Кинетикалық потенциалдың орнына Гамильтон негізгі функция ретінде толық энергияны алады.
(2)
Ал,
координата ретінде
– айнымалыларын алады
(3)
Гамильтон функциясы кинетикалық энергия мен потенциалдық энергияның қосындысына тең
. (4)
Гамильтон функциясының полярлы координатада жазылуы
. (5)
Импульстің
және
проекцияларын табамыз:
(6)
Кинетикалық энергияны және импульс арқылы жазсақ
. (7)
Сонымен, полярлы координата жүйесінде Гамильтон функциясының түрі:
. (8)
15. Гамильтонның ең аз әсер принципінен оның канондық теңдеулер жүйесін қорытып шығару
Гамильтон функциясы мен Лагранж функциясының айырымы:
(1)
болатынын ескерсек
(2)
Біртекті функцияларға арналған Эйлер теоремасын еске түсірелік
(3)
анықтама
бойынша
,
сондықтан
(4)
(2)-ды (4)-ге қойып
(5)
немесе
(6)
Лагранж
функциясының (6) түрін пайдаланып әсер
функциясы –
Гамильтон функциясы арқылы жазамыз:
(7)
Әсер функциясы – ның жаңа түрін пайдаланып, ең аз әсер принципіне арналған жаңа өрнекті аламыз:
(8)
Бұл
функция
– айнымалыларынан тәуелді болғандықтан,
оны осы мәндер бойынша вариациялаймыз
(9)
(10)
Жылдамдықтың вариациясынан құтылуға болады:
(11)
(11) – интегралдаймыз
(12)
(12) –ны (10)-ге қойып
(13)
Механиканың ең аз әсер принципі орындалу үшін мына жақшаның ішіндегі айырмалар нөлге тең болу керек:
,
. (14)
Немесе
,
. (15)
Сонымен
(14)–механиканың канондық теңдеулері
немесе Гамильтон
теңдеулері
деп аталады. Егер Гамильтон функциясы
қандай да бір координатаға тәуелді
болмаса, мысалы
-ге
байланысты болмаса,
болады. Яғни, сәйкес жалпылама импульс
құраушысы тұрақты болады. Мұндай
координаталар циклдық
координаталар
деп аталады.
16. Импульстің, импульс моментінің, энергияның сақталу заңдарының кеңістік пен уақыт симметрияларымен байланысы. Энергияның сақталу заңы
Сонымен
механикалық жүйе қозғалысқа түскенде
оның механикалық күйін сипаттайтын
,
шамалары уақытқа тәуелді өзгереді
(i=1,2,…,s). Бірақ, осы шамалардың кейбір
функциялары қозғалыс кезінде өздерінің
алғашқы шарттарға тәуелді мәндерін
сақтап қалады екен. Осы функцияларды
қозғалыс интегралдары деп атайды.Осы
қозғалыс интегралдарының кейбірі
кеңістік пен уақыттың біртектілігі
және изотроптылығы қасиеттерімен
байланысты екен. Барлық осы сақталып
тұрған шамалардың ортақ аддитивтік
қасиеті бар. Яғни бір-бірімен әсерлеспейтін
бөлшектерден тұратын жүйе үшін осы
сақталатын шамалардың мәндері әрбір
бөлшектің жеке-жеке мәндерінің
қосындысынан тұрады.Осы шамалардың
аддитивтілігінің механикалық маңызы
жоғары болып табылады. Екі дене біршама
уақыт мезетінде бір-бірімен әсерлессін
деп есептейік. Жүйенің әсерлескенге
дейінгі және кейінгі аддитивтік
интегралдары мәндері осы денелердің
жеке-жеке аддитивтік интегралдарының
мәндерінің қосындысына тең болғандықтан,
осы шамалардың сақталу заңдары егер
олардың әсерлескенге дейінгі күйлері
белгілі болса, әсерлескеннен кейін де
денелердің күйі туралы мағлұмат алуға
болады.Уақыттың біртектілігінен туатын
сақталу заңын қарастырамыз.Тұйық жүйенің
Лагранж функциясы біртекті болғандықтан,
ол функция уақытқа тәуелді болмайды.
Сондықтан Лагранж функциясының уақыт
бойынша толық дифференциалы былай
жазылады:
(1)
Лагранж теңдеуі:
(2)
(2)-ден
тауып
алып, (1) қоямыз.
(3)
немесе
(4)
(5)
(4)
-шамасы
тұйық жүйенің қозғалысы кезінде
өзгеріссіз қалады. Бұл жүйенің энергиясы
деп аталады. Энергияның сақталу заңы
тек тұйық жүйелер үшін ғана орындалып
қоймай, кейде сыртқы өрісте (уақытқа
тәуелсіз) болатын жүйелер үшін де
орындалады. Энергиялары сақталатын
механикалық жүйелер консервативті
жүйелер деп аталады. Тұйық жүйе үшін
Лагранж функциясы мынадай екенін
білеміз:
(6)
мұндағы
–
жылдамдықтың квадратының функциясы.
Осыған Эйлердің біртекті функцияларына
арналған теоремасын қолдансақ:
(7)
Осыны (4) қойсақ:
(8)
декарттық координаталар жүйесінде:
(9)
Сонымен жүйенің энергиясы екі әртүрлі шамалардың қосындысынан: жылдамдыққа тәуелді кинетикалық энергия мен бөлшектің координатасына тәуелді потенциалдық энергияларының қосындысынан тұрады.