23. Аудандар заңы немесе Кеплердің екінші заңы

Екі дене есебін бір дене есебіне келтіруге болады және материалдық бөлшектің қозғалысы кейде сыртқы өрістің әсерінен де болады. Егер материалдық бөлшектің потенциалдық энергиясы тек оның қандай да бір қозғалмайтын нүктеге дейінгі арақашықтығы ға ғана тәуелді болса, ол өріс орталық өріс деп аталады.

. (1) Бөлшекке әсер етуші күш –абсолют мәні бойынша тек -ға ғана тәуелді (арақашықтыққа), бағыты бойынша, әрбір нүктеге радиус вектордың бойымен бағытталған. Бұрынырақ айтылғандай, орталық өрісте қозғалатын бөлшек үшін жүйенің өріс центріне қатысты моменті сақталады:

(2) және векторлары өзара перпендикуляр болғандықтан, сақталған жағдайда, бөлшектің радиус векторы үнемі -ға перпендикуляр бір жазықтықта болады. Сонымен бөлшектің орталық өрістегі қозғалыс траекториясы түгел бір жазықтықта болады. Онда полярлық координата жүйесін енгізіп Лагранж функциясын жазамыз:

.(3); Бұл функцияда -кординатасының айқын түрі жоқ. Егер Лагранж функциясына жалпылама координата -дің қандай да бір түрі енбесе, оны циклдік координата деп атайды:

. (4)

Осыған байланысты жалпылама координатаға сәйкес импульс қозғалыс интегралы болып табылады. Осы жағдай циклдік координаталардың көмегімен қозғалыс теңдеуін интегралдауды оңайлатады. болса, жалпылама импульс:

, (5)

яғни өткен параграфта айтылғандай, импульс моментімен сәйкес болады да, белгілі моменттің сақталу заңын береді:

(6)

1 – сурет

шексіз аз радиус вектор мен сектордың доғасының жасайтын ауданы. Осы өрнекті -ға бөліп, секторлық жылдамдықты алуға болады:

. (7)

Осыны моменттің өрнегіне қойсақ:

. (8)

Сондықтан осы моменттің сақталуы – секторлық жылдамдықтың сақталуын қамтамасыз етеді. Яғни, қозғалыстағы радиус вектор бірдей уақыт аралықтарында бірдей аудандарды сызады. Бұл Кеплердің екінші заңы деп аталады.

24. Кеплердің бірінші және үшінші заңдары

Ньютонның динамиканың үш заңын дәне төртінші заң- Бүкіләлемдік тартылыс заңын беруіненжарты ғасырдай бұрын неміс астрономы Иоганн Кеплер (1571-1630) өзінің астрономиялық еңбектерінде Күн системасындағы планеталардың қозғалысын сипаттайтын заңдарды берген болатын. Кеплер өз заңдарын астроном Тихо Брагеннің планеталардың қозғалысын ұзақ жылдар бойы бақылаудың нәтижелеріне сүйене отырып ашқан болатын. XVII ғасырдың басында неміс астрономы Иоганн Кеплер аспан денелерінің орбиталары шеңберден өзгеше екендігін анықтады.1609-1619 жылдары планеталар қозғалысының үш заңын ашты. Осындай өз зерттеулерінің нәтижесінде қазір планеталар қозғалысының Кеплер заңдары деп аталып кеткен үш заңын берген болатын. Оларды былайша тұжырымдауға болады.Кеплердің бірінші заңы. Әрбір планетаның Күнді айнала қозғалысының траекториясы (орбитасы) эллипс болып табылады, әрі оның бір фокусында Күн орналасады. Орбитаның Күнге ең жақын нүктесін перигелий(грекше peri-таяу,helios-Күн), оның ең алыс нүктесін афелий (грекше apo-алыс) деп аталады. Астрономияда Жердің Күннен орташа қашықтығы Күн жүйесінде қолданылатын қашықтық өлшеу бірлігі астрономиялық қашықтық деп аталады. 1а.б. =149 600 000км

Кеплердің екінші заңы. Кеплердің екінші заңы-аудандар заңы планета қозғалыстарының бірқалыпты емес екендігін анықтайды: планетаның радиус-векторы бірдей уақыт аралығында шамалары бірдей аудандар сызып шығады.

Кеплердің үшінші заңы. Күнді айнала қозғалып жүрген кез келген екі планетаның айналыс периодтарының квадраттарының қатынасы олардың Күннен орташа қашықтықтарының кубтарының қатынасына тең болады. Бұл дегеніміз егер Т₁ және Т₂ -планеталардың күнді бір рет айналып өтуге  қажетті уақыты, ал r₁ және  r₂ - планеталардың Күннен орташа қашықтықтары болса, онда

25. Кеплер есебі Орталық өрістердің маңызды жағдайлары ретінде, потенциалдық энергиясы -ға және осыған сәйкес күштер -қа кері пропорционал болатындай өрістерді қарастыруға болады. Бұларға мысал ретінде сипаты бойынша тартылысты беретін ньютондық ауырлық өрісін және әрі тартылыс, сонымен бірге тебілістерді беретін кулондық электростатикалық өрістерді жатқызуға болады. Бастапқыда потенциалдық энергиясы: (1) болатындай оң таңбалы тұрақтысы бар тартылыс өрісін қарастырамыз. «Эффективті» потенциалдық энергиясы 1– суреттегідей түрде болады: (2) болғанда ол -ке айналады, ал ол теріс таңбасына байланысты нөлге ұмтылады; болғанда ол мына минимумға тең болады: (3) Осы графиктен болған жағдайда бөлшектің қозғалысы инфинитті, ал финитті болатыны көрініп тұр. Траекторияның формасын мына жалпы формуладан аламыз: (4) Осы өрнекке мәнін қойып және элементар интегралдау жүргіземіз:

(5)

Осындағы болатындай етіп – бұрышын таңдап аламыз және мынадай белгілеулер енгізсек: (6); (7) Осыларды траекторияға арналған формулаға қойсақ: (8); Бұл фокусы координата басында орналасқан конустық қиманың теңдеуі; мұндағы – орбитаның параметрі, ал – эксцентриситеті. сәйкес келетін нүкте центрге ең жақын нүкте болып табылады және ол перигелий деп аталады. 1 заң бойынша әсерлесетін екі дене есебінде әрбір бөлшектің орбиталары инерция центрі ортақ конустық қималар сызады. болса болады, яғни орбита эллипс болады. егер болса, эллипс шеңбер болады. Аналитикалық геометриядан белгілі: және (9) , ал . Эллипстік орбитаның бойымен қозғалатын уақытын кеплердің екінші заңы арқылы табуға болады: ; . Мұндағы – орбитаның ауданы. Сонда (10) яғни период тек энергияға тәуелді болып шығады. Егер болса қозғалыс инфинитті болады. Егер , ал болған жағдайда траектория гипербола болады. Себебі . Мұндағы – гиперболаның «жарты осі». Егер болса, болады, бөлшек параболамен қозғалады. Бөлшектің өрісіндегі қозғалыс интегралын жазатын болсақ: (11) Осы тұрақты вектордың уақыт бойынша толық туындысын табатын болсақ: (12); Сонымен (13) болады екен. Сақталып отырған векторы (Лаплас векторы) үлкен осьтің бойымен фокустан перигелийге бағытталған: .(14); Егер болса, болады да орбита эллипс болады. Бөлшектің координаталарының уақытқа тәуелділігін табатын болсақ қозғалыс финитті болады. Үлкен жарты ось ескере отырып уақытты табатын болсақ: (15)

Сонымен ,(16); , (17); .(18) Егер: : ,(19); ,(20); .(21) Енді , ал бөлшек параболамен қозғалады. Перигелийге дейінгі қашықтық . Бұл жағдайда бөлшек қозғалысты тыныштық күйден бастайды да шексіздікке кетеді: . Сонымен орталық өрістегі нүктенің қозғалысын қарастырамыз. Нүктеге әсер ететін күш: (22); Мұндағы – масса, – тұрақты, – орталық дененің массасы, – универсал тартылыс тұрақтысы. Қарастырып отырған өрісіміз Ньютондық тартылыс өрісі болып табылады; егер болса, – нүктенің электр заряды, ал – орталық дененің заряды болса, қарастырып отырған өріс зарядтардың кулондық өрісі болады. Өріс, егер – тартылыс, ал болса тебіліс өрісі болады. Нүктенің потенциалдық энергиясы: ; Нүктенің траекториясын полярлық координатада таптық: ;

Мұндағы ;

26. Бөлшектердің ыдырауы Импульс пен энергияның сақталу заңдарын қолдану әртүрлі механикалық процестерді түсіндіруге ыңғайлы болып табылады. Бұл сақталу заңдарын пайдалану әсіресе олардың процеске қатысушы бөлшектердің өзара әсерлесуіне тәуелді емес болған жағдайларында тиімді. Мысалы, ешбір сыртқы әсер болмаса да, бір бөлшектің «екі құраушы бөлшекке» «өзінен-өзі» ыдырауын қарастырайық. Бұл екі бөлшек ыдыраудан соң бір-біріне қатыссыз, тәуелсіз қозғалсын. Бөлшек ыдыраудан бұрын тыныштықта тұр деп есептейік.

12 – сурет

Импульстің сақталу заңы бойынша, ыдыраудан пайда болған екі бөлшектің импульстерінің қосындысы нөлге тең, яғни бөлшектер ыдыраған соң бағыттары қарама-қарсы, ал шамасы бойынша тең импульстермен екі жаққа ұшады. Солардың абсолюттік шамасын деп белгілейміз.

- ыдыраған бірінші бөлшектің импульсі, - ыдыраған екінші бөлшектің импульсі. Бастапқыда бөлшек тыныштықтағы санақ жүйесінде орналасқандықтан:

(1)

Ендеше

(2)

ал модульдары:

(3)