2.Бөлшектердің шашырауының эффективті қимасына арналған Резерфорд формуласы

Зарядталған бөлшектің Кулон өрісінде шашырауын қарастырамын.

(13) (14)

; ; ;

; ; (15)

немесе енгізіп: (16); (17) орнына қоямыз және бойынша дифференциалдаймыз: ; ; (18)

(19);

(20); (21) Осы формула Резерфорд формуласы деп аталады.

3. Аз тербелістер. Бір өлшемді еркін тербелістер

Механикалық жүйелер табиғатта көбінесе аз тербелістер жасайды. Жүйе өзінің орнықты тепе-теңдік күйінің маңында аз ауытқу жасап тербелсе (периодты түрде қозғалса), оны аз тербелістер жасайды деп айтамыз. Бұдан әрі біз жүйенің еркіндік дәрежесі бірге тең жағдайларды қарастырамыз. потенциалдық энергиясының минимум мәнінде жүйе орнықты тепе-теңдік күйде болады және осы күйден ауытқығанда – жүйені бастапқы қалпына келтіруге ықпал ететін күш пайда болады. Потенциалдық энергияның минимум мәніне сәйкес келетін жүйенің координатын – деп белгілейік.

функциясын нүктесінің маңында Тейлор қатарына жіктеуге болады:

(1)

Санақ басы ретінде нүктесін аламыз, яғни потенциалдық энергияның минимум мәнін осы нүктеге сәйкес аламыз:

Егер болса болады, яғни жүйе тепе-теңдікте болады.

Ендеше

(2)

Мұнда – потенциалдық энергияның екінші ретті туындысының нүктесіндегі мәнін деп және деп белгілеп алдық. Бұл тербелетін бөлшек координатасының тепе-теңдік қалыптан ауытқу мәні болып табылады. Сонымен

(3)

Яғни жүйе аз тербеліс жасаған болса, оның потенциалдық энергиясы (3) тең.

Еркіндік дәрежесі бірге тең жүйенің кинетикалық энергиясы, жалпы жағдайда мынаған тең:

(4)

4.Гармониялық тербелістер

Еркіндік дәрежесі бірге тең жүйенің кинетикалық энергиясы, жалпы жағдайда мынаған тең:

(1)

Тербеліс аз болғандықтан деп белгілеу енгіземіз. Мұндағы массамен жалпылама координатты декарт координатасы деп алғанда ғана сәйкес келеді.

; себебі .

Сонымен (5) Бір өлшемді аз тербеліс жасайтын жүйенің Лагранж функциясы: (6)

Осы функцияға сәйкес қозғалыс теңдеуін қолданып

мына теңдеуді аламыз ; (7)

(8)

деп белгілейміз: (9)

Бұл теңдеудің шешімін мына түрде іздейміз: (10)

(9) сипаттаушы теңдеу . Осыдан болса

(11)

– Эйлер формуласын қолданып, тұрақтыларды қайта белгілесек:

Тұрақтыларды келесі жолмен түрлендірсек:

; ,

шешімді ықшам түрде жазуға болады

(12)

Мұндағы – тербеліс амплитудасы және – тербеліс фазасының тангенсі болып табылады. Ал – тербелістің циклдік жиілігі. Сонымен жүйе орнықты тепе-теңдік күйінің маңында гармониялық тербеліс жасайды. Оның толық энергиясы: (13)

5.Еріксіз тербелістер

Жүйеге сырттан айнымалы күш әсер еркенде ол мәжбүр тербеліс жасайды. Тербелісті аз деп қарастырғандықтан, осы жүйеге әсер етеін күшті де әлсіз деп алуға болады. Себебі бұл күштің әсері жоғары болса – ауытқуы үлкен болып кетер еді де, тербеліс аз тербеліс бола алмайтын еді. Осы жағдайда жүйенің меншікті – потенциалдық энергиясынан басқа қосымша сырттан әсер ететін өрістің энергиясы да бар болады. – координатасына байланысты өзгерісі аз болғандықтан мұны да жіктейміз:

(1)

(2)

тек уақыттың функциясы болғандықтан, оны уақыттың толық туындысы ретінде Лагранж функциясынан алып тастаймыз:

(3)

Қозғалыс теңдеуі

. (4)

Бұл тұрақты коэффициенттері бар біртекті емес сызықты дифференциалды теңдеу. Осы қарастырып отырған мәжбүр тербелістің қозғалыс теңдеуінің шешімі мынадай қосындыны береді: . Мұндағы: – біртекті теңдеудің жалпы шешімі, – біртекті емес теңдеудің дара (дербес) интегралы. (5)

түрлендірсек: ; (6)

белгілеу енгіземіз: (7) Сонымен (8). Осының біртекті шешімі

(9)

толық шешімін табу керек. Ол үшін тұрақтыларды вариациялау әдісін қолданамыз. Яғни тұрақтыларды уақыттың функциясы ретінде аламыз:

(11)

Орнына қойғанда (12)

Сонымен (13)

(14)

белгілесек, жалпы жағдайдағы шешімі:

(15)