30.Айнымалыларды ажырату тәсілі
Гамильтон-Якоби
теңдеуінің толық интегралын табу үшін
көп жағдайларда айнымалыларды
ажырату
тәсілі
қолданылады. Тұйық механикалық жүйе
үшін механикалық энергия сақталатыны
белгілі жағдай
,
(1)
,осыдан
,
(2) немесе
,
(3)
деп
алуға болады. Сонда
-? (1)–ге өткен параграфтан белгілі
қойып Гамильтон-Якоби теңдеуінің
стационар, яғни уақытқа тәуелсіз түрін
аламыз:
,
(4)
Сонымен
,
(5)
,
(6)
Яғни
стандартты түрдегі полярлық жүйедегі
Гамильтон-Якоби теңдеуін айнымалыларды
ажырату тәсілімен шығарамыз.
,
(7)
немесе
,
(8),
(8)
–ді (6)
–ға қойып
,
(9)
және
айнымалылары бойынша ажыратып жазатын
болсақ:
,
(10)
тең
болуы үшін
;
болуы керек. Сондықтан осы айнымалыларға
байланысты екі теңдеу жазамыз
1.
,
(11)
мұндағы – кез келген тұрақты.
2.
,
(12)
(11) шешімі:
,
(13)
(12) шешетін болсақ:
,
(14)
Егер
функция
тек бір ғана айнымалыға тәуелді болса,
дербес дифференциал толық дифференциалға
айналады немесе толық дифференциал
дербес дифференциалмен сәйкес болады:
,
(15)
(3)-ті
жазатын болсақ:
,
(16)
Яғни Гамильтон-Якоби теңдеуінің толық шешімі осылай болады.