21. Күш моменті
,(1)
,
(2)
– векторы
күшінің
моменті
деп
аталады. Сондықтан
– денеге әсер ететін барлық күштердің
моменттерінің қосындысына тең болып
табылады. Егер координаттар басын
қашықтығында алатын болсақ нүктелердің
жаңа радиус векторлары –
,
ескі радиус-вектор
арасындағы байланыс:
,
(3)
Болса:
,
(4) немесе
,
(5)
Осыдан
көріп тұрғанымыздай егер
болса, күш моменті координаттардың
бастапқы орнына тәуелді емес. (1) формуласын
Лагранж теңдеуі ретінде қарастыруға
болады:
,
(6)
Лагранж
функциясын
векторының компоненттері арқылы
дифференциалдасақ:
,(7)
Дене шексіз аз бұрышқа бұрылғандағы потенциалдық энергияның өзгерісі
,
(8)
,
(9)
Егер
және
векторлары өзара перпендикуляр болса
(10) формуладағы
айналатын кез-келген
векторын таңдап алуға болатындықтан:
,
(11)
Мысалы
біртекті күш өрісінде материалдық
нүктеге
күші әсер етеді. Мұндағы
– өрісті сипаттайтын тұрақты вектор
болса ,
– осы бөлшектің берілген өріске қатысты
қасиетін сипаттайтын шама. (Біртекті
электр өрісінде
– өрістің кернеулігі,
е – бөлшектің
заряды). Ал, біртекті ауырлық өрісінде
-
ауырлық күшінің үдеуі g, ал е-бөлшектің
массасы m болып табылады.
,
(12)
,
(13)
дей
отырып,
– радиус-векторын енгіземіз:
,
(14)
,
(15)
Толық күш моментін осылай жазамыз. Сонымен қатты дененің біртекті өрісте қозғалысы кезінде өрістің әсері радиус векторы нүктеге берілген бір ғана күшімен сипатталады.
22. Бір нүктесі бекітілген абсолютті қатты дене үшін Эйлердің қозғалыс теңдеулері
Қозғалыс теңдеулері тыныштықтағы координаттар жүйесі үшін жазылған және және векторларының өзгерісі осындай жүйелерге қатысты алынған:
; ,(1)
Енді
қозғалыс теңдеулерін x,y,z
қозғалыстағы координаттар үшін жазып
көреміз.
– кез-келген бір
векторының тыныштықтағы координаттар
жүйесіне қатысты алғандағы уақыт бойынша
өзгерісі деп алайық. Егер айналмалы
жүйеге қатысты
векторы өзгермейтін болса, онда оның
тыныштықтағы жүйеге қатысты өзгерісі
тек айналуға ғана байланысты болады
да:
,
(2)
Cонымен
қатар:
;
,(3)
осы өрнектер кез келген векторлар үшін
орындалатыны жоғарыда айтылған болатын.
(2) өрнектің оң жағына
–
векторының қозғалыстағы жүйеге қатысты
алынған жылдамдығының өзгерісін қосатын
болсақ:
,
(4)
Осы жалпы формуланы пайдаланып (1) өрнекті қайта жазамыз:
,
(5)
,
(6)
Уақыт бойынша дифференциалдау қозғалыстағы санақ жүйесінде жүргізілгендіктен, теңдеулерді осы осьтердегі проекциялары арқылы жаза аламыз:
(7)
(8)
Мұндағы
1,2,3 индекстері x`,y`,z` осьтеріндегі осы
теңдеулердің құраушыларын білдіреді.
алмастырып:
,
,
,
(9)
x`,y`,z` осьтері инерциясының бас осьтері арқылы өтеді дей отыра, (6) теңдеуін , , өрнектерін пайдаланып жазамыз:
,
,
,
(10)
Осы
теңдеулер Эйлер
теңдеулері
деп аталады. Еркін айналу кезінде
болады да Эйлер теңдеулері былай
жазылады:
,
,
,
(11)