2.6.. Проектные задания к модулю 2

1. Самостоятельно уточнить решение (2.37)-(2.38) о течении вязкой жидкости в трубе прямоугольного сечения, используя три функции Галеркина вида

а) , ,

б) , ,

и пять функций Галеркина вида

в) , ,

Сопоставить с точным решением.

2 Написать самостоятельно полное решение краевой задачи (2.60) о течении вязкой жидкости между круглыми соосными цилиндрами.

Тесты рубежного контроля

1. Какие течения вязкой жидкости называют одномерными?

2. Какие типы уравнений математической физики надо решать для одномерных задач о движении вязких жидкостей?

3. Какие одномерные задачи о течении вязкой жидкости имеют точные решения?

4. Сформулируйте метод гидродинамической аналогии. Какая задача решалась методом гидродинамической аналогии?

5. Можно ли получить приближенное решение задачи об одномерном

течении вязкой жидкости в трубе с треугольным сечением, не являющимся правильным треугольником? Какие функции Галеркина можно взять для этого?

6. Какие задачи решены выше методом гидродинамической аналогии?

7.Междку какими течениями и каких жидкостей устанавливается гидродинамическая аналогия?

8.. Между какими физическими величинами устанавливается аналогия?

9. Каким методом можно построить точное решение задачи об одномерном течении вязкой жидкости в трубе прямоугольного сечения?

10. Какая задача о движении вязкой жидкости впервые была решена Петровым Н.П., основоположником гидродинамической теории газовой смазки?

!1. Как записывается формула Петрова? Какую физическую величину она определяет?

12. При каких ограничениях на толщину зазора справедлива формула Петрова?

13. В каких случаях движения вязкой жидкости еу течение является потенциальным?

14. Как вводится понятие коэффициента трения?

15. При каких ограничениях на коэффициент трения справедлива формула Пуазейля?

Критерии оценки. Правильные ответы на 14- 15вопросов– отлично,

на 11-13 вопросов–хорошо, на 8-10вопорсов – удовлетворительно

МОДУЛЬ 3.

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ

3.1 Общая постановка задачи

Рассматривается установившееся течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя полубесконечными плоскими непроницаемыми и неподвижными стенками, образующими двугранный угол α. Естественно такое течение считать плоским и изучать его в цилиндрических координатах , а все гидродинамические переменные рассматривать как функции двух координат .и . Эта задача была впервые рассмотрена в начале 20 века, Однако ее подробный численный анализ проведен лишь в последние годы [1]

О граничимся ниже приближенным анализом задачи. Изучим только самый простой случай, когда все траектории частиц – лучи, исходящие из точек линии пересечения плоскостей, принимаемой за ось z. Пусть точка О этой оси лежит в плоскости течения. Согласно введенного нами понятия такое течение в цилиндрических координатах является одномерным, так как в нем скорость потока имеет только одну проекцию . Поэтому полагаем

(3.1)

Уравнения Навье-Стокса при этом принимают вид

(3.2)

К этим уравнениям необходимо добавить краевые условия прилипания к стенкам диффузора:

(3.3)

Однако этих двух условий недостаточно для выделения единственного решения полученной системы уравнений, так как мы имеем дело с системой дифференциальных уравнений в частных производных, содержащей производные второго порядка по .и .от функции , а давление pвходит в эти уравнения частными производными первого порядка. Дополнительное условие, которое необходимо поставить, заключается в задании расхода жидкости через диффузор, или перепада давлений в двух точках границы диффузора. Будем считать заданным секундный расход жидкости через диффузор _Q

. (3.4)

В изложенной постановке задачи полностью отсутствуют условия, которые надо бы было сформулировать для давлений, аналогично тому, как это делалось для труб постоянного сечения. Но труб нами устанавливались связи между перепадами давлений и расходами жидкости через сечения труб. Можно надеяться, что аналогичные связи могут быть установлены и в рассматриваемом случае.

Отметим важные особенности постановки решаемой физической задачи:

а)для реального диффузора конечной длины отсутствует возможность точно сформулировать условия для скоростей и давлений на входе и на выходе из него, так как эти условия формируются потоком жидкости вне диффузора;

б) субъективное «навязывание» потоку в диффузоре определенной структуры - одномерности и однонаправленности течения;

в) необходимость обязательной проверки возможности существования навязанной потоку структуры течения и условий, при которых такие течения могут быть реализованы.