5.8. Использование найденных решений для исследования других нестационарных задач
Линейная комбинация решений
Уравнение () является линейным и поэтому сумма его частных решений является тоже его решением. Если к тому же возможно найти физически разумные краевые и начальные условия, которым удовлетворяет такое решение, то можно считать такое решение точным решением соответствующей новой задачи.
Рассмотрим комбинацию решения () задачи о диффузии вихревого слоя
и тривиальное решение
Составим линейную комбинацию этих решений
=
-
Рассмотрим область
.
При
во всей этой области согласно формуле
()
.
Однако при 
и всех 
имеем 
.
Эти свойства функции
свидетельствуют о том, что жидкость а
в полупространстве
,
изначально покоившаяся, приводится в
движение плоскостью
как твердой плоскостью, получившей
мгновенную скорость
в направлении оси Oz
и сохраняет
ее во все время движения. Следовательно,
мы имеем решение задачи о течении
жидкости, вызванном движением в ней
плоскости, мгновенно приведенной в
движение и сохраняющей все время
постоянную скорость Формула () дает
решение для полупространства 
.
Для полупространства 
при этом течение будет симметричным.
Решения, получаемые дифференцированием известных решений
Если функция
удовлетворяет уравнению (), то этому
уравнению будет удовлетворять и функция
.
Это позволяет построить решение новой
задачи – о разгоне покоящейся жидкости,
занимающей полупространство, постоянной
силой трения, приложенной к его границе.
Рассмотрим задачу
Покоящаяся
тяжелая вязкая жидкость занимает
полупространство 
и имеет свободную границу, к которой
приложено постоянное давление
.
С момента t=0
к свободной поверхности прикладывается
постоянная сила трения T,
направленная в сторону z>0.
Требуется определить возникающее при
этом течение жидкости. Такая задача
представляет определенный интерес для
объяснения возникновения течений
жидкости под действием ветра.
Соответствующая математическая задача
одномерная и ставится так
Найти решение уравнения
при граничных и начальных условиях
где нормаль n
направлена
в ту сторону жидкости, с которой
производится воздействие на поверхность.
В рассматриваемом случае 
.
Поэтому граничное условие надо записать
так
Воспользуемся тем фактом, что функция
удовлетворяет уравнению
и начальному уcловию
так как в покоящейся жидкости касательные напряжения отсутствуют
Граничные условия имеют вид
Сопоставляя формулы () и (), убеждаемся, что функция с точностью до обозначений функция совпадает с функцией ().Поэтому можем записать
Учитывая значение
функции 
(), получаем уравнение для определения
поля скоростей в жидкости
Учитываем теперь, что
Вычислим вторую
производную от
по 
При этом , пользуясь уравнением (), находим
Интегрируя это
уравнение по 
с учетом начального условия 
,
получаем
Из этого решения
следует, что частицы жидкости, находящиеся
на поверхности 
обладают скоростью
Это же значение
скорости достигается всеми остальными
частицами жидкости с ростом времени,
так как для любого конечного 
подынтегральная функция является
растущей от нуля функцией, ведущей себя
как 
при 
Поэтому при больших
имееем
В процессе роста
со временем скорости внутри жидкости
всегда найдется момент времени, когда
в заданной точке жидкости с координатой
скорость достигнет половинной скорости
на ее границе 
.
Этот момент времени можно найти исходя
их условия
которое приводит к уравнению
()
Вычислением
интеграла для каждого численного
значения 
без особого труда находится соответствующее
значение 
,
при котором выполняется последнее
равенство. Отметим, что после замены
переменных
.
,
уравнение () сводится к такому
,
Написать Maple-программу
5.9.. Диффузия вихрей в вязкой жидкости
Диффузия вихревой нити
Рассматриваем
прямолинейную вихревую нить, с которой
связываем ось Oz
цилиндрической системы координат 
.
(
1/
Принимаем, что в начальный момент времени
t=0
поле скоростей в жидкости определяется
формулами
В силу осевой симметрии допускаем, что при t >0 течение сохраняет осевую cимметрию
,
,
Как было установлено, завихренность распространяется мгновенно на всю жидкость.
В рассматриваемом
случае 
,
,
Исследование диффузии вихрей удобно провести на основе уравнения Гельмгольца для вихрей
Учитываем, что
,
)
Это в рассматриваемом случае приводит к уравнению
откуда следует
Литература
1. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А. Бифуркация основного стационарного течения вязкой жидкости в плоском диффузоре// Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2005. № 3С.25-36
2. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Из-во Ленинградского униврситета. Л.: 1978. 295 с.
3. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплопередачи. Из-во Ленинградского униврситета. Л.: 1970. 375 с.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука.1987.840с.
4. Лучин Г.А., Пешти Ю.В., Снопов А.И. Газовые опоры турбомашин. М.:Машиностроение.1989. 240 с.
5. Кочин Н.Е., Кибель И.Я., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. М.:
Наука.1963.т.I, 585 с., т. II, 728 с.
6. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат. 1955. 520 с.