3.5. Течение в диффузоре при малых числах Рейнольдса

В случае малых чисел Рейнольдса целесообразно обратиться к исъходным уравнениям (3.9). Распределелние скоростей в потоке при этом можно определить, найдя решение первого уравнения этой системы

Совершим сперва замену переменной в соответствии с формулой (3.14)

Для определения функции получаем уравнение

(3.48)

где

Граничные условия для функции определены равенствами (3.19)

, (3.49)

Произвольная постоянная подлежит определению в процессе решения задачи. Сложность решения задачи связана с наличием нелинейного члена в дифференциальном уравнении (3.49) и присутствием в нем произвольной постоянной . Поэтому целесообразно исключить из уравнения аддитивную постоянную совершив замену неизвестной функции по формуле

(3.50)

где новая искомая функция, а постоянная подлежит определению из условия исключения аддитивной постоянной из уравнения для .

Согласно уравнению (3.48) имеем

Определим постоянную D из условия

(3.51)

Запишем теперь уравнение для W

(3.52)

где

Решение уравнения (3.52) должно удовлетворять краевым условиям

, (3.53)

При заданном значении постоянной для определения из (3.51) получаем уравнение

Учитывая, что при и что , находим связь между и

или

(3.54)

Допуская, что настолько мало, что

(3.53)

из формулы (3.54) следует, что D можно представить в виде ряда

(3.54)

При этом будем иметь

(3.55)

Ищем решение уравнения (3.52) в таком виде

3.6)

Учитываем, что

(3.57)

Подставляем ряды (3.56) и (3.57) в уравнение (3.52) и условия (3.53). Сравнение коэффициентов при одинаковых степенях левой и правой частей получаемого равенства приводит к бесконечной последовательности краевых задач

При имеем последовательности краевых задач

(3.58)

В частности функции первого и второго приближений находятся в результате решения таких краевых задач

(3.60)

(3.61)

Нулевое приближение

Уравнение нулевого приближения ( ) имеет общее решение такого вида

Постоянные интегрирования и могут быть определены по соответствующим граничным условиям. Нетрудно установить, что Следовательно,

(3.62)

Граничные условия дают уравнение

(3.63)

Интегральное условие ((3.58) дает еще одно уравнение, связывающее коэффициенты и \

(3.64)

то из уравнения (3.64) находим

(3.66)

(нижний знак (плюс”) отвечает сходящемуся потоку, верхний (“минус”) – расходящемуся)

Учитываем теперь, что

Первое приближение

Уравнение для определения функции первого приближения принимает форму

(3.67)

Общее решение этого уравнения имеют вид

Из граничных условий следует, что =0 Поэтому

(3.68)

Условия прилипания на стенках диффузора приводят к равенству

из которого следует

(3.69)

Интегральное условие (3.60) приводит к равенству

Из которого следует

Откуда находим

Имеем равенство

Или

Или

или

Откуда находим

Находим отсюда

(3.70)

Ограничимся решением в найденных двух приближениях.

Численный анализ течения в диффузоре при малых числах Рейнольдса

При расчетах потока в диффузоре удобно задаваться параметрами и , вычислять по ним коэффициенты и и находить параметр из уравнения (3.56), допуская настолько малым, что величина пренебрежимо мала по сравнению с величиной . При этом находим приближенные решения уравнения (3.55) в нелинейном приближении

(3.71)

и сопоставляем их значения с решением этого же уравнения (3.55) в линейном приближении

Если при таком сопоставлении обнаруживаются близкие значения корней уравнений то принимаем их за соответствующие значения числа Рейнольдса Re= , для которых будет справедливо приближенное решение. в нелинейном приближении При этом производим сравнение распределение скоростей потока в нулевом и первом приближениях.

Определив приближенно и , находим интересующие нас гидродинамические величины по формулам

Параметр определяется из уравнения (3.51)

После чего находим постоянную

и определяем распределение давлений в потоке жидкости в диффузоре, при котором возможно ее чисто радиальное течение

Скорость в потоке удобно определять по формуле

Ниже, на рис. 3.5 представлены результаты расчетов профилей скорости при малях числах Рейнольдса для течения в конфузоре. Тонкие линии отвечают нулевому приближению, жирные - решению в первом приближении. Как видим, нулевое приближение ухватывает основные особенности потока при соответствующих достаточно малых числах Рейнольдса. Видно, что угол раствора конфузора существенно влияет на характер течения. При углах раствора больших в пристеночных слоях постепенно развиваются возвратные течения жидкости. Это явление имеет место до углов раствора примерно в   после чего картина потока резко меняется, Противопоток вдруг начитает течь через зону оси симметрии конфузора, а основной поток из диффузора - через пристеночные области и эта картина течения сохраняется до угов раствора конфузора в .

= , B=206, Re=10

= , B=3, Re=2 = , B=3, Re=2

= , B=3, Re=2 = B=3, Re=2.1

= , B=3.94, Re=0.62 = , B=3.6, Re=1.4;

Рис.3.5. Эпюры скоростей в конфузорах разных углов раствора

На рис. 3.6 представлены картины течения в диффузоре. Так как доказано, что при углах раствора диффузора больших 180  чисто радиальные расходящееся течение невозможны ни при каких значениях числа Рейнольдса, то разумно ограничиться исследованием радиального расходящегося потока только для малых чисел Рейнольдса.

В=36.4 В=60

Рис. 3.6. Эпюры скоростей для двух режимов расходящегося

течения вязкой жидкости в диффузоре (одно и трехмодовоые):

Результпты пдоробго анализа рассмотренной задачи в широком диапазоне чисел Рейнольдса , проведенного ана основе численного интегрирования исходных уравнений, описывающих поток в диффузоре приведены в в работе [1]. .Кроме выявленных в настоящем пособии однонаправленнх (одномодовых) и разнонаправленных трехмодовых потоков вявлены еще двухмодорые разнонаправленные течения. Приближенное решение, представленное выше, не позволлило “ухватить” этот эффект.