Проектные задания к модулю 1
а) Записать в декартовых координатах связи меду компонентами тензора напряжений и компонентами тензора скоростей деформаций для случая вязкой несжимаемой жидкости.
б) Записать в декартовых координатах связи меду компонентами тензора напряжений и компонентами тензора скоростей деформаций для
случая вязкого газа.
Тесты рубежного контроля
Сколько уравнений необходимо иметь для полного математического моделирования задачи о движении вязкой несжимаемой жидкости
Сколько уравнений надо иметь для полного математического моделирования задачи о движении вязкого газа?
Перечислите названия всех уравнений, описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости.
Перечислите названия всех уравнений, описывающих движение вязкого газа.
Какого порядка производные по времени входят в уравнения, описывающие движение вязкой несжимаемой жидкости?
Какого порядка производные по времени входят в уравнения, описывающие движение вязкого газа?
Чем отличается уравнение неразрывности для вязкого газа от уравнения неразрывности для вязкой несжимаемой жидкости?
Какого порядка производные по координатам входят в уравнения, описывающие движение вязкой несжимаемой жидкости?
Какого порядка производные по координатам входят в уравнения, описывающие движение вязкого газа?
Какие члены в уравнениях движения вязких жидкостей и почему называются нелинейными членами?
Какие члены в уравнениях движения вязких газов и почему называются нелинейными членами?
Как вычислить проекции на координатные оси вихря скорости в декартовых координатах?
Для каких потоков жидкости вводится понятие функции тока?
Какие члены в уравнениях движения вязких жидкостей и газов и почему называются нелинейными членами.
Какие члены в уравнениях движения вязких жидкостей и газов описывают ускорения частиц и силы вязкости?
Критерии оценки. Правильные ответы на 14- 15вопросов– отлично,
на 11-13 вопросов–хорошо, на 8-10вопросов – удовлетворительно.
МОДУЛЬ 2
Одномерные течения вязкой жидкости В декартовых координатах
2.1 Математические задачи в декартовых координатах для одномерных течений вязкой жидкости
Если возможно
выбрать такую систему координат 
,
что скорость потока имеет только одну
проекцию на координатные оси, то такой
поток можно назвать одномерным.
Пронумеруем координаты так, чтобы в
этом случае выполнялись равенства
(2.1)
Рассмотрим сначала одномерные в декартовых координатах течения
несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью в отсутствии массовых сил.
Пусть оси координат выбраны так, что
(2.2)
Подставим эти значения проекций скорости в уравнение неразрывности (1.24), поучаем
Следовательно, в одномерном течении
(2.3)
Уравнения движения ( )в проекциях на оси Оx и Oy дают равенства
Это означает, что давление в рассматриваемом течении может зависеть только от координаты z и времени t
(2.4)
При этом уравнение движения в проекции на ось Оz можно записать так
(2.5)
Так как в полученном равенстве левая часть может зависеть только от x,y,t
а правая - только от z и t, то это равенство возможно лишь при условии, что одновременно выполняются следующие равенства
(2.6)
(2.7)
где произвольная функция может быть определена, если заданы давления в двух точках потока с различными координатами z.
Последнее уравнение может быть проинтегрировано. Имеем
(2.8)
Предположим, что
давления в двух токах потока и
известны, как функции времени
(2.9)
При этом нетрудно
найти функции
и
из системы двух линейных
алгебраических уравнений
Из этих уравнений находим
(2.10)
Рассмотрим типы дифференциальных уравнений в частных производных, к которым сводятся задачи нахождения поля скоростей в одномерном потоке жидкости и которые определяют методы их решения.
В общем случае
неустановившегося одномерного течения
жидкости при известной функции
(не исключая возможности
)
для определения распределения скоростей
в потоке имеем линейное неоднородное
двумерное уравнение теплопроводности
(2.6). Для его решения обычно необходимо
формулирование начально-краевых условий.
В качестве краевых условий задается распределение искомой функции на границах области. В случае жидкости возможны постановки задач, когда жидкость безгранична, или когда она имеет твердые границы, которые в общем случае являются цилиндрическими поверхностями с образующими, параллельными оси Oz, или плоскостями. Возможны и свободные границы также цилиндрического типа или плоские.
На твердых границах должны выполняться условия прилипания жидкости к телу.
На свободных границах должен быть непрерывным тензор напряжений, что следует из третьего закона Ньютона.
В качестве начальных условий задается начальное распределение скоростей в потоке, которое должно быть согласовано с граничными условиями в начальный момент времени.
Возможны также и периодические решения, если твердые границы области совершают периодические колебания вдоль самих себя и является периодической функцией.
Так как уравнение (2.6) является линейным, то при поиске его решения возможно применение метода суперпозиций.
Если движение установившееся, то уравнение (2.6) принимает вид
которое с учетом формул (2.10) можно записать так
(2.11)
где
.
Если
,
то мы имеем дело с двумерным уравнением
Пуассона (2.11).
Если же , то мы имеем дело с двумерным уравнением Лапласа
(2.12)
В последнем случае движение жидкости порождается только движением его границ (безнапорное течение). В остальных случаях движение жидкости может быть вызвано как движением границ, так и градиентом давлений (напором).
Как для напорных, так и для безнапорных установившихся течений необходимо решать краевые задачи, выполняя условия прилипания на твердых границах области течения. В случаях установившихся безнапорных течений, когда задача сводится к краевой задаче для двухмерного уравнения Лапласа, для решения последнего возможно применение методов теории функций комплексного переменного.
В случаях установившихся одномерных и к тому же плоских течений, когда, например,
(или
)
уравнения Пуассона () и ()Лапласа вырождаются в обыкновенные дифференциальные уравнения и легко интегрируются.