4.3. Установившееся прямолинейное движение твердого шара в вязкой жидкости

Задача о движении шара в вязкой жидкости была впервые поставлена и решена одним из основателей теории движения вязкой жидкости Стоксом в середине 19 века.

Как было отмечено в предыдущем примере, “помехой” для решения задачи о коническом диффузоре является нелинейное слагаемое в левой части уравнений Навье Стокса, связанное с ускорением частиц жидкости и называемое в теории инерционным членом этих уравнений. Аналогичное слагаемое было определенной помехой и в задаче о плоском диффузоре. Стокс предложил вообще отказаться от учета таких нелинейных слагаемых в задачах о движении вязких жидкостей, и пользоваться упрощенными (урезанными) уравнениями, которые сам предложил.

Обратимся к уравнению Навье-Стокса (1.29) в векторной форме

Стокс предположил, что второе (нелиней ное) слагаемое в левой части этого уравнения слабо влияет на характер движения жидкости и ее взаимодействие с твердыми телами при малых числах Рейнольдса, и поэтому может быть отброшено, получающееся при этом уравнение принимает очевидно такую форму

(4.13)

Это уравнение линейное и носит имя “уравнение Стокса”. Оно широко используется до настоящих дней в практике инженерных расчетов. Оно и было использовано Стоксом при исследовании установившегося движения шара.

Обратим особое внимание на то, что при установившемся движении шара в безграничной, покоящейся на бесконечности жидкости движение самой жидкости является неустановившимся, так как положение шара относительно неподвижной системы координат непрерывно изменяется.

Свяжем с шаром сферическую систему координат ( , угол которой отсчитывается от оси , исходящей из центра шара в сторону противоположную движению шара. В связи с тем, что эта система координат является инерционной, уравнения Навье–Стокса сохраняют свой вид, но изменяются граничные условия. Прежде всего, отметим тот факт, что относительно шара и связанной с ним системы координат движение жидкости является установившимся, так как картина ее течения сохраняется неизменной. Если шар движется в жидкости справа налево со скоростью , то в системе координат, связанной с шаром, жидкость будет набегать на него слева направо с такой же скоростью , а сам шар будет неподвижным. . Инерционные нелинейные слагаемые создают, как показано выше, трудности, порой трудно преодолимые, в решении полных уравнений Навье-Стокса. Поэтому ограничимся решением Стокса поставленной задачи, основанном на использовании уравнений Стокса для установившегося течения и предположения о пренебрежимо малом влиянии массовых сил на движение жидкости

(4.14)

Учитывая осесимметричный характер течения относительно оси , можем принять, что окружной поток вокруг этой оси отсутствует , а все гидродинамические функции не зависят от координаты . В этом случае уравнения Стокса принимают вид

(4.15)

)

На поверхности шара ( должны выполняться условия прилипания

(4.16)

а на бесконечности должны быть выполнены условия

при (4.17)

Граничные условия позволяют надеяться, что решение поставленной задачи представимо в виде

(4.18)

Подставляем эти функции в уравнения (4.12). После элементарных упрощений получаем

(4.19)

Граничные условия для введенных функций в соответствии с (4.16)- (4.17) таковы

(4.20)

Первые два уравнения системы (4.15) можно несколько упростить, используя третье. Имеем

(4.21)

Система уравнений (4.21) представляет собою систему однородных уравнений Эйлера. Поэтому ее решение можно представить в виде

(4.22)

После подстановки этих выражений в уравнения (4.21) и сокращения на общие множители приходим к следующей системе уравнений

которую удобно записать так

(4.23)

Эта система трех линейных однородных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение только в случае равенства нулю ее определителя ,

имеющего вид

Раскрывая определитель и приравнивая его нулю, получаем характеристическое уравнение

( ( 0 (4.24)

Корни этого алгебраического уравнения четвертой степени легко находятся с помощью приводимой ниже Maple-программы

> restart:

> F:=simplify(-2*k*(-k+1)+(k+2)*(k^2+k)*(-k+1)+2*(k^2+3*k));

> solve(F=0,k);

Следовательно, имеем

(4.25)

Для каждого k находим решение системы уравнений (4.23), выразив все коэффициенты через A. Имеем

(4.26)

Следовательно, можем записать

(4.27)

Выполнение условий на бесконечности позволяет установить, что

(4.28)

Выполнение условий на поверхности шара приводит к системе уравнений

из которой находим

, (4.29)

Теперь можем записать формулы для распределения скоростей и давлений в потоке жидкости

(4.30)

Найденное решение позволяет определить воздействие жидкости на шар – сопротивление шара. Для этого необходимо определить напряжения на поверхности шара, используя формулы (1.24). В рассматриваемом случае в силу осевой симметрии на поверхности шара отличны от нуля только нормальное и касательное напряжения

, ) (4.31)

Нетрудно убедиться, что в силу условий прилипания и уравнения неразрывности на поверхности шара имеют место равенства

при (4.32)

В этом случае имеем

(4.33)

Сила, с которой жидкость действует на шар, вычисляется по формуле

Учитывая значения и на поверхности шара, легко находим

Так как поверхность шара имеет площадь , то воздействие вязкой жидкости на неподвижный шар определяется формулой

(4.34)

именуемой “Формула Стокса”.

Экспериментальная проверка подтверждает приемлемость этой формулы для расчета сопротивления шара только для очень малых чисел Рейнольдса

Формула Стокса широко используется для определения вязкости жидкости.

Замечания

1. Проверка показывает, что принятое Стоксом допущение о пренебрежимой малости нелинейного инерционного члена по сравнению с силами трения не выполняется во всей области течения. Легко установить, что в области, примыкающей к оси потока, с удалением от шара силы инерции могут стать сколь угодно большими по сравнению с вязкими силами.

2. Доказано, что плоская задача о поперечном обтекании неподвижного цилиндра безграничным установившимся потоком вязкой жидкости на основе уравнений Стокса не имеет решения, в силу ее некорректности (парадокс Стокса).

3. Для преодоления парадокса Стокса необходимо производить полный или частичный учет нелинейных сил инерции жидкости при решении соответствующих задач.

4. Для ограниченных областей, занятых вязкой жидкостью, парадокс Стокса не имеет места.

5. В случаях больших чисел Рейнольдса учет нелинейных сил инерции жидкости необходим.

97-101   |  Алаксеева А. 104-112  |  Заярный Н.   (пока нет) 113-122  |  Клименко А. 123-129  |  Ломакин Н. 133-143  |  Маматкова П.  (пока нет) 144-150  |  Сивковская Е. 151-165  |  Федотчев О.

113 – 122. Набрать формулы в ворде – 2003.

Старые не уничтожать!