. Напорные течения вязкой жидкости в трубах некругового сечения
Течение в трубе эллиптического сечения.
Пусть нормальное сечение трубы описывается уравнением
Запишем уравнения и граничные условия для потока в эллиптической трубе
(2.28)
при
(2.29)
Ищем решение задачи (2.28)- (2.29) в таком виде
(2.30)
Учитываем, что при этом граничные условия выполнены и что
Из уравнения (2.28) находим
Вычисляем расход жидкости через сечение трубы по формуле
Для вычисления интеграла совершим замену переменных. Полагаем
Якобиан перехода равен
Находим
(2.31)
Течение в трубе треугольного сечения.
Рассмотрим
случай трубы, имеющей в сечении форму
равностороннего треугольника. Пусть
система декартовых координат выбрана
так, что ось Oz
проходит
через середину основания треугольника,
ось Ox
направлена вдоль основания треугольника,
а ось Oy
проходит через вершину треугольника.
В этом случае стороны треугольника
описываются уравнениями
Запишем уравнения и граничные условия для потока в эллиптической трубе
(2.32)
при
(2.33)
Попытаемся построить решение задачи в таком виде
(2.34)
Учитываем, что граничные условия (2.33) при этом выполнены полностью и что
Подставив эти вторые производные в уравнение (2.32), получаем уравнение, из которого находим
Расход газа через треугольную трубу определяем по формуле
Вычисление интеграла удобно провести по такой схеме. Учитывая симметрию течения относительно оси Oy, вычисляем интеграл по половине треугольника, интегрируем сначала по координате x, а затем по координате y. Имеем
Вычисление квадратур (их удобно найти с помощью пакета Maple) дает
(2.35)
Течение в трубе прямоугольного сечения
Для случая
одномерного потока вязкой жидкости в
трубе прямоугольного сечения со сторонами
a
и b
в системе координат, связанной с ребром
трубы (риc.
2.4) задача формулируется так: найти
решение краевой задачи
(2.36)
при условиях:
при
Следуя методу,
примененному для решения ряда предыдущих
задач, ищем функцию
в виде произведения левых частей
уравнений границ области интегрирования
(справа у них обязательно должны быть
нули), умноженного на некоторую постоянную
(2.37)
Так как
то, очевидно, что ни при каких постоянных значениях множителя не может быть удовлетворено уравнение (2.36), принимающее вид
Здесь следует
искать другие пути построения точного
решения поставленной задачи. Однако не
будем отвергать формулу (2.37), а попытаемся
подобрать постоянную A
так, чтобы эта формула определяла
некоторое приближенное решение задачи.
Для этого умножим обе части уравнения
(2.37) на
и проинтегрируем полученное равенство
по площади поперечного сечения трубы,
получим уравнение
Интегралы (левый обозначим как i1, правый – i2) легко вычисляются с помощью пакета Maple:
>restart;
>i1:=simplify(int(int((x*(x-a)+y*(y-b))*x*y*(x-a)*(y-b),x=0..a),y=0..b));
>i2:=simplify(int(int(x*y*(x-a)*(y-b),x=0..a),y=0..b));
При этом находим
Расход жидкости через трубу прямоугольного сечения, определенный по приближенной формуле
равен
(2.38)
Ниже представлено точное решение задачи, которое позволяет оценить точность приближенной формулы (2.38) и область ее применимости.
Точное решение задачи об одномерном течении вязкой жидкости в трубе прямоугольного сечения
Для построения точного решения удобно перейти к декартовой системе координат, ось Oz которой проходит через центры сечений трубы. При этом уравнения границ сечений принимают вид
Введем безразмерные
переменные
и
и безразмерную скорость u
по формулам
(2.39)
Краевая задача (2.36) преобразуется к такому виду
,
= (2.40)
при
Ищем решение в
виде функционального ряда по
тригонометрическим функциям аргумента
с коэффициентами, зависящими от
.
Учитываем, что функции
обращаются в ноль на границах области
и образуют ортонормированную систему.
Поэтому отыскиваем решение в таком виде
(2.41)
(вид функций
подлежит определению).
Подставляем этот ряд в уравнение (2.40), получаем равенство
Для получения уравнений для определения функций умножаем обе части последнего равенства на , и интегрируем обе части получаемых при этом равенств по в пределах от -1 до +1. Учитываем, что при этом имеют место равенства
В результате
получаем следующую бесконечную
последовательность независимых
дифференциальных уравнений для
определения функций
Общее решение полученных уравнений можно представить в таком виде
Постоянные
коэффициенты
и
определяем с учетом условий прилипания,
которые будут выполнены, если выполнены
равенства
что приводит к системам уравнениям
из которых следует, что
Следовательно, можем записать
(2.42)
В соответствии с формулой (2.41) записываем
Учитываем, что
и записываем формулу для вычисления
скорости
(2.43)
Определяем теперь расход жидкости через трубу прямоугольного сечения. Имеем
После элементарных вычислений получаем “точную” формулу для расхода
(2.45)
Оценим теперь
точность приближенной формулы (2.38)
Найдем отношение
для ряда значений параметров сечения
трубы и составим таблицу
a |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
b |
0.5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
|
|
-2.8 |
-1.2 |
-2.8 |
-8.5 |
-11.9 |
-16/7 |
Как видим, простое приближенное решение (2.38) обладает достаточно высокой практической точностью, особенно в диапазоне 0.5<b/a<2. Фактически, при выводе формулы (2.38) был использован метод Галеркина решения краевой задачи (2.36) на одной функции Галеркина вида
,
а “точное” решение строилось также по
методу Галеркина,. но на бесконечной
системе функций типа
,
вид которых также можно было задать
изначально, но в рассмотренном случае
этот вид определялся в процессе решения
задачи, что позволило получить решение
в быстро сходящихся рядах.
Заметим в
заключение, что согласно “точной”
формуле (2.45) величина
при
полностью совпадает с расходом,
определяемым на единицу ширины потока
в плоской трубе (формула (2.16)), так как в
этом случае .
-
Напорное продольное течение вязкой жидкости в кольцевой щели между круглыми соосными цилиндрами
Напорные течения жидкостей и газов в кольцевых щелях имеют место в различных технических устройствах (поршневые двигатели, уплотнения валов турбин и нагнетателей, машины для изготовления трубчатых изделий и т.п.). Рассмотрим в качестве модельной задачи течение вязкой жидкости в зазоре между двумя твердыми, прямыми, неподвижными круглыми трубами, расположенными соосно. Пусть кольцевой зазор между ними имеет внутренний радиус а, наружный – b. Краевая задача для определения распределения скоростей в потоке согласно ее постановки в декартовых координатах формулируется так (см. (2.17))
(2.46)
Для получения
точного решения этой задачи целесообразно
перейти к цилиндрическим координатам
r,
,z
в которых двумерный оператор Лапласа
имеет вид
а в силу осевой симметрии не должно зависеть от . В этом случае краевая задача (2.46) записывается так
В результате однократного интегрирования первого уравнения получаем
Повторно интегрируя, находим
Для определения постоянных интегрирования С и D выполняем граничные условия, которые дают два линейных уравнения
=
Находим
Следовательно
(2.47)
Расход жидкости
удобно вычислять в полярных координатах
r,
,
учитывая, что
Чтобы избежать
громоздких выкладок, можно с
помощью пакета Maple
провести вычисление
интеграла и одновременно рассмотреть
случай малых зазоров, когда
.
Ниже представлена соответствующая
программа и результаты счета.
> restart;
> i1:=int((r^2-a^2-(b^2-a^2)/ln(b/a)*ln(r/a))*2*Pi*r,r=a..b);
> i11:=subs(b=a+delta,i1);
> i111:=series(i11,delta=0, 5);
К сожалению, приходится вручную проделать дальнейшее элементарное упрощение интеграла i1, вследствие чего формула для расхода приобретает такой вид
(2.48)
Большое
практическое значение имеет случай
малых относительных зазоров.
Полагая при этом
и принимая, что , можно получить упрощенную
формулу для расхода, если использовать
разложение в ряд по выражения, стоящего
в квадратных скобках последней формулы
В этом случае формула для расхода газа через кольцевую щель принимает вид
(2.49)
Эта формула
находится в полном согласии с формулой
(2.16) для расхода газа через плоскую щель
шириной
.