2.4. Безнапорные одномерные установившиеся течения вязкой жидкости в трубах
Одномерные безнапорные течения жидкости в трубах могут порождаться только движением самих труб. Поэтому, чтобы было такое течение, необходимо наличие не менее двух труб. В простейшем случае должны быть две бесконечно длинные трубы с прямолинейными образующими, вставленные одна в другую. В декартовых координатах при общей постановке задачи (2.12), необходимо решать краевую задачу для уравнения Лапласа
(2.50)
где индекс
отнесен к внешней трубе, а все остальные
трубы находятся только внутри внешней.
Формы сечений труб - контуров
и продольные скорости труб , в общем
случае, произвольные. Область течения
в плоскости x,y
является многосвязной
,
что существенно затрудняет решение
соответствующих краевых задач. В случае
двухсвязных областей задачи могут
успешно быть решены численно, а в ряде
случаев и аналитически, так как здесь
возможно использование методов теории
функций комплексного переменного и
метода гидродинамической аналогии с
плоской .задачей о течении идеальной
жидкости.
Гидродинамическая аналогия
Наряду с краевой
задачей (2.50) при n=1,
отвечающей случаю движения жидкости
между двумя трубами (одна труба в трубе)
рассмотрим задачу о плоском безвихревом
течении идеальной жидкости между
непроницаемыми контурами
и
той же формы, что и сечения труб. В таком
течении контуры
и являются линиями тока. Следовательно,
на этих контурах значения функции тока
постоянные. Краевая задача для определения
функции в безвихревом течении между
контурами
и
,
если значения функции тока на и этих
контурах заданы, сводится к решению
краевой задачи
(2.51)
Если принять
числовые значения функции тока на
контурах равными числовым значениям
продольных скоростей труб
,
то краевая задача для определения
функции тока в плоском течении идеальной
жидкости станет идентичной краевой
задаче об одномерном продольном
безнапорном движении вязкой жидкости
между соответствующими твердыми
бесконечно длинными цилиндрами:
(2.52)
Сравнивая математические краевые задачи (2.47) и (2.49), убеждаемся в их тождественности, различие имеется только в обозначениях искомых функций. Однако физический смысл этих краевых задач совершенно различен, как и смысл искомых функций. Мы имеем только математическую аналогию между этими двумя совершенно различной физической природы задачами, из которой следует, что распределение скоростей одномерного продольного потока вязкой жидкости между двумя трубами аналогично распределению функции тока в соответствующем плоском безвихревом течении идеальной жидкости в соответствующих точках потоков. Эта аналогия позволяет установить связи и между некоторыми интегральными характеристиками рассматриваемых потоков.
Рассмотрим силу трения, действующую со стороны вязкой жидкости на внутренний цилиндр. На единицу длины цилиндра действует суммарная сила трения, вычисляемая по формуле
В безвихревом плоском течении идеальной жидкости имеется связь между функцией тока и потенциалом скорости, даваемая условиями Коши-Римана,
При этом
(2.53)
где циркуляция скорости по контуру в соответствующем плоском потоке идеальной жидкости.
Продольное безнапорное течение вязкой жидкости в зазоре между круглыми соосными цилиндрами
О
пределим
распределение скоростей в безнапорном
потоке жидкости, полностью заполняющей
зазор между соосными цилиндрами радиусов
a
и b
(a<b),
движущимися вдоль самих себя с постоянными
скоростями соответственно,и ., а также
найдем силы, необходимые для поддержания
такого движения. Для решения задачи
воспользуемся гидродинамической
аналогией. Рассматриваемое распределение
скоростей аналогично распределению
значений функции тока в безвихревом
плоском течении идеальной жидкости
между соосными окружностями соответствующих
радиусов, когда значения функции тока
на этих окружностях численно совпадают
соответственно со скоростями
и . Как известно из курса гидродинамики,
плоское течение, обладающее круговыми
линиями тока, порождается вихревой
точкой и обладает комплексным потенциалом
где
- комплексная координата вихревой точки,
а
произвольная комплексная постоянная.
В рассматриваемом случае надо принять
и найти функцию
равную мнимой части комплексного
потенциала
(2.54)
Постоянные
и B
определим из граничных условий
для функции
решаемой
нами краевой задачи (2.52). На основании
формулы (2.54) находим значения функции
на окружностях радиусов a
и b
и выполняем граничные условия (2.50).
Из этих уравнений находим
,
=
Учитывая значения постоянных, имеем
(2.55)
Используя теперь гидродинамическую аналогию, можем записать для одномерного продольного потока вязкой жидкости в зазоре между соосными твердыми цилиндрами формулы, определяющие распределение скоростей и силу трения, приходящуюся на единицу длины внутреннего цилиндра
,
(2.56)
Продольное протягивание пластины в эллиптической трубе, заполненной вязкой жидкостью
Рассмотрим неподвижную эллиптическую трубу, заполненную вязкой жидкостью, внутри которой расположена бесконечно длинная твердая пластина, движущаяся вдоль самой себя со скоростью U. Ширина пластины равна межфокусному расстоянию эллиптического сечения трубы и к тому же пластина расположена между этими фокусами. Требуется определить распределение скоростей в потоке и силу, с которой необходимо протягивать пластину.
Решим задачу с помощью гидродинамической аналогии, по которой одномерному продольному потоку вязкой жидкости в эллиптической трубе с движущейся пластиной соответствует плоский поток идеальной жидкости в области между эллиптическим контуром и разрезом, соответствующим этой пластине. Известно, что с помощью комплексной функции Жуковского
(2.57)
эллипсу в комплексной
плоскости
можно поставить в соответствие окружность
на вспомогательной плоскости . Найдем
эту окружность. Положим 
и
запишем формулу (2.54) так
‘Отсюда следуют равенства
Исключив из этих равенств , получаем уравнения семейства эллипсов в плоскости xOy
Каждому эллипсу
с полуосями
и
,
определяемыми по приводимым ниже
формулам
преобразование
Жуковского ставит в соответствие
окружность радиуса , причем параметр c
связан с этими осями, как нетрудно
видеть, формулой
.определяющей
фокусы эллипса. Так как параметр c
задан изначально, то это означает, что
имеем дело с семейством софокусных
эллипсов.
Для рассматриваемой трубы радиус окружности, соответствующей ее эллиптическому сечению, очевидно равен
а пластине (в
сечении - вырожденный эллипс с полуосями
) соответствует окружность радиуса
Плоский поток
идеальной жидкости в области, ограниченной
двумя линиями тока, из которых одна
совпадает с эллипсом, а другая - с
внутренним прямолинейным разрезом
между фокусами эллипса, может быть
изучен с помощью конформного отображения,
даваемого формулой Жуковского, ставящей
в соответствие этому потоку поток в
фиктивной плоскости
,
в области, ограниченной круговыми
линиями тока с радиусами, равными 
и
.
В этом фиктивном потоке циркуляция
такая же, как и в реальном потоке. Такой
поток нами изучен в предыдущем пункте.
Распределение функции тока и циркуляция
в фиктивном потоке будет определяться,
очевидно, по формулам (2.52) с учетом
радиусов контуров
и в фиктивном потоке и граничных значений
функции тока и , . В результате имеем
,
Здесь
.
Координата связана с координатой z
формулой (2.57), которую можно записать в
таком виде
-
Решением этого
квадратного уравнения, в частности,
переводящим точку z=a
в точку
=
является функция
(2.58)
Теперь, воспользовавшись аналогией, можем записать решение поставленной задачи
,
(2.59)
Общий случай одномерного осевого течения вязкой жидкости в кольцевом зазоре между двумя твердыми соосными цилиндрами
Если имеет место осевое течение жидкости под действием одновременно перепада давлений и продольного движения соосных труб, то для определения поля скоростей надо решать краевую задачу
(2.60)
Решение этой задачи можно получит методом суперпозиции решений отдельных задач о напорном течении и о безнапорном течении, положив
(2.61)
где
– решение краевой задачи
а -решение краевой задачи
