5.1. Начальные и краевые условия

В некоторых частных случаях возможны постановки задач о поисках периодических во времени решений уравнений движения вязких жидкостей

когда все гидродинамические функции отыскиваются в виде периодических функций времени, что обычно связано с установившимся периодическим характером движения границ и частиц соответствующего объема жидкости.

В общем случае решение системы пяти существенно нелинейных дифференциальных уравнений (1.1) должно удовлетворять начальным условиям при в заданной области , обычно ограниченной поверхностями твердых тел и границами раздела сред (например, море-воздух)

при (1.2)

Кроме начальных условий необходимо удовлетворять краевым условиям, которые отличаются большим разнообразием.

На твердых границах области надо выполнять условия прилипания жидкостей (и газов) к соответствующим телам

при (1.3)

где – объединение всех твердых границ области в момент времени , - векторная функция, принимаемая за известную.

На границах раздела сред необходимо выполнять кинематическое условия, заключающиеся в том, что частица жидкости, находящаяся на поверхности раздела сред, все время остается на этой поверхности, и динамические условия. Если уравнение поверхности раздела сред имеет вид

(1.4)

то указанное кинематическое условие записывается так

при

(1.5)

Кроме этого должно выполняться динамическое условие, следующее из третьего закона Ньютона, непрерывность компонент тензора напряжений на элементарных площадках границы раздела сред при переходе из области, занятой исследуемой жидкостью (I) в соседнюю область (II).

при (1.6)

где ./ .

Температурные граничные условия, как следует из теории дифференциальных уравнений типа теплопроводности, бывают трех типов:

задание температур твердых границ,

задание тепловых потоков через твердые границы,

условия третьего рода, когда на твердой границе задается линейная комбинация теплового потока и температуры.

Остановимся кратко на формулировках наиболее простых видов температурных граничных условий

а) при (1.7)

где - скалярная функция, принимаемая за известную;

б) при (1.8)

в) при (1.9)

где - скалярная функция, принимаемая за известную.

Возможна комбинация условий а, б и в, когда на части границы задаются условия вида а, а на остальных частях – видов б и в.

В общем случае движение жидкостей (и газов) порождает движение тел, в них находящихся, которое в свою очередь оказывает влияние на движение

жидкостей (газов). Возникают при этом задачи о совместном движении жидкостей и газов.