1.4. Уравнения движения вязкого газа в цилиндрических координатах

Если - цилиндрические координаты точки, то декартовы координаты этой точки связаны с её цилиндрическими координатами формулами

При этом нетрудно установить, что

, , (1.19)

а все остальные производные от логарифмов коэффициентов Ламе по и z равны нулю.

В проекциях на оси цилиндрической системы координат можно записать полную систему уравнений, аналогичных уравнениям (1.8). Для этого надо учесть, что

(1.20)

(1.21)

и что компоненты тензора напряжений в цилиндрических координатах имеют вид

_(1.22)

Используя полученные формулы, на основе уравнений (1.16)-(1.22), получаем систему уравнений, описывающую термодинамику движения вязкого теплопроводного газа в цилиндрических координатах

₍₁₂₃₎

Для несжимаемой жидкости следует принять , что приведет к существенному упрощению этих уравнений, особенно в случае постоянной вязкости , когда уравнения неразрывности и движения образуют замкнутую систему и могут быть решены независимо от уравнения баланса энергии.

В случае декартовых и цилиндрических координатных систем уравнения для несжимаемой жидкости получаются из представленных выше.

В сферических координатах запись уравнений движения для вязкого газа в скоростях представляется весьма громоздкой. Поэтому ограничимся более простым случаем - записью в сферических координатах уравнений для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью:

(1.24)

Компоненты тензора напряжений в несжимаемой жидкости в сферических координатах имеют вид

(1.25)

1.5. Векторная форма записи уравнений движения для несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью

Уравнения движения жидкости значительно упрощаются, если жидкость несжимаемая ( =const), а вязкость жидкости постоянная ( ). В декартовых координатах уравнение неразрывности принимает вид

(1.26)

а уравнения движения и энергии записываются так ( - коэффициент кинематической вязкости)

(1.27)

Уравнение энергии при этом приобретает вид

(1.28)

Заметим, что система четырех уравнений (неразрывности (1.26) и движения(1.27)) содержит ровно четыре искомые величины . Поэтому эта система является замкнутой и может быть решена (проинтегрирована) независимо от уравнения баланса энергии. (1.28) Последнее может быть решено (т.е. найдено поле температур в потоке) только после того, как поля скоростей и давлений будут найдены и соответствующие коэффициенты в уравнении энергии будут определены.

Если умножить уравнения движения ( ) соответственно на единичные орты осей координат, сложить получаемые при этом равенства и ввести вектор скорости частицы

(1.29)

то получим возможность записать в векторной форме уравнение движения й частицы несжимаемой вязкой жидкости с постоянной вязкостью (уравнение Навье-Стокса)

(1.30)