5.7. Диффузия вихревого слоя

Модель вихревого слоя

Рассмотрим случай движения неограниченного объема жидкости, имеющей в начальный момент времени следующее распределение скоростей (U=const)

Слой жидкости является вихревым слоем, вектор завихренности которого равен

.

Вне этого слоя течение жидкости безвихревое.

Ограничимся исследованием наиболее простого случая вихревого слоя, когда . При этом можно записать

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой ()

представив функцию как функцию аргумента так

Имеем

Совершим замену переменных в первом интеграле, положив

Формула преобразуется к виду (штрих опущен)

По теореме Ньютона интегралы можно объединить. В результате получаем

или

Интеграл, вошедший в последнюю формулу, выражается через интеграл вероятностей

Функция обладает свойствами, вытекающими из ее определения

Запишем формулу для распределения скоростей в задаче о диффузии вихревого слоя через функцию интеграл вероятности

Определим теперь поле вихрей в жидкости в любой момент времени Согласно формуле () можем записать

что дает возможность найти распределение завихренности в жидкости

-

Как следует из полученной формулы, завихренность, сосредоточенная изначально только в окрестности плоскости x=0, мгновенно распространяется на всю жидкость при t>0, cсохраняясь все время наибольшей в окрестности плоскости x=0.

Однако в других точках потока с координатами максимум завихренности достигается не сразу, а через определенный промежуток времени, и тем больший, чем дальше отстоят эти точки от начального вихревого слоя. В этом убеждаемся, находя максимум завихренности в точках с координатой , в зависимости от времени. Составляем уравнение Имеем

[

Корнем полученного уравнения является

Максимум завихренности в соответствующих точках при этом равен

Как следует из формул () и (), промежуток времени достижения максимума завихренности в точках с координатами растет по квадратичному закону в зависимости от удаленности точек жидкости от первоначального вихревого слоя и обратно пропорционален вязкости жидкости - тем меньше, чем больше вязкость жидкости. Максимальная же завихренность в точках с координатой не зависит от вязкости жидкости и обратно пропорциональна удаленности от первоначального вихревого слоя.

97-101   |  Алаксеева А. 104-112  |  Заярный Н.   (пока нет) 113-122  |  Клименко А. 123-129  |  Ломакин Н. 133-143  |  Маматкова П.  (пока нет) 144-150  |  Сивковская Е. 151-165  |  Федотчев О.

151 – 158. Набрать формулы в ворде – 2003.

Везде ,включая текст!

Старые не уничтожать!