4.1. Вращение твердой плоскости в вязкой жидкости

Рассмотрим задачу о равномерном вращении безграничной твердой плоскости в безграничной вязкой жидкости, когда ось вращения ортогональна плоскости. Очевидно, задача является осесимметричной. Примем ось вращения за ось цилиндрической системы координат , то естественно допустить, что все гидродинамические функции не зависят от . Учитывая, что при рассматриваемом вращении в жидкости возникают центробежные силы, приводящие к радиальному течению, естественно допустить, что все три компоненты скорости будут отличными от нуля. В этом случае уравнения Навье-Стокса несжимаемой жидкости постоянной вязкости принимают вид

(4.1)

Пусть отвечает твердой плоскости. Граничные условия для области очевидно имеют вид

при , ,

при (4.2)

Для при задать условия на можем, а значения на бесконечном удалении от плоскости подлежат определению в процессе решения задачи.

Т. Карман предложил (1921) искать решение рассматриваемой задачи в следующем виде

, (4.3)

где

После подстановки искомых функций в уравнения Навье-Стокса для определения вновь введенных функций получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(4.4)

решение которой должно удовлетворять граничным условиям

(4.5)

Нетрудно усмотреть, что первое, третье и четвертое уравнения системы (4.3) образуют замкнутую систему уравнений, сводящуюся к системе пяти уравнений первого порядка, если ввести дополнительные переменные

,которая записывается так

(4.6)

Для решения этих уравнений удобно применить численный метод, сведя задачу к задаче Коши при следующих начальных условиях

при (4.7)

где постоянные и подбираются так, чтобы выполнились условия на бесконечности. За “бесконечность” можно принять Численный эксперимент автора пособия дает (Менее точные значения и представлены в книге [ ])

Важными характеристиками исследуемого потока являются количество жидкости отбрасываемой центробежными силами и момент сил трения , действующих на часть плоскости, ограниченной кругом радиуса . Эти величины вычисляются по формулам

(4.8)

Введем новую переменную

Очевидно, что

Последнее уравнение добавим к уравнениям (4.5). Ниже приводится Maple-программа численного решения этих уравнений и результаты счета по ней.

> restart:

> a:=0.51028:

> b:=-0.61591:

>dsys5:={diff(F(x),x)=F1(x),diff(F1(x),x)=F(x)^2+H(x)*F1(x)-G(x)^2,diff(G(x),x)=G1(x),diff(G1(x),x)=2*F(x)*G(x)+H(x)*G1(x), diff(H(x),x)=-2*F(x),diff(q(x),x)=F(x),F(0)=0.,F1(0)=a,G(0)=1.,G1(0)=b,H(0)=0.,q(0)=0.}:

> dso52 := dsolve(dsys5,numeric,method=rkf45,output=procedurelist):

> dso52(20.0);

Результаты счета показывают, что значения параметров действительно соответствуют граничным условиям и что можно принять

При этом формулы (4.7) приобретают вид

(4.9)

Как следует из представленного решения, в слое окружная скорость убывает с удалением от пластины более чем в 2200 раз, что дает основания принять границу этого слоя за практически неподвижную, “не чувствующую” вращения твердой плоскости. Поэтому

реальная толщина слоя жидкости, участвующая во вращении, имеет порядок

Если разделить обе части этого приближенного равенства на , то получим

(4.10)

При больших радиусах реально вращающейся круглой пластины и больших скоростях вращения характерное число Рейнольдса, вводимое по формуле

ет стать весьма большим. При этом толщина слоя, в котором существенно проявляется эффект вращения, имеет весьма малую относительную толщину, обратно пропорциональную корню квадратному из числа Рейнольдса (.см. формулу (4.10))

.

С этим фактом мы уже познакомились на примере течения в диффузоре для плоского потока.

Подчеркнем, что формула (4.8), определяющая момент трения, находится в полном соответствии с опытными данными для дисков конечных радиусов в случаях, когда числа Рейнольдса большие, но меньшие критических, соответствующие ламинарным течениям.

4.2. Кольцевой конический диффузор (проблемная задача)

Рассмотрим безотрывное течение вязкой несжимаемой жидкости в зазоре между двумя твердыми, соосными, круговыми, коническими поверхностями с общей вершиной (рис. 4.1). Используем сферическую систему координат , угол которой отсчитывается от оси конусов. В силу осевой симметрии принимаем, что поля скоростей и давлений в потоке не зависят от окружной координаты и что отсутствуют окружные скорости Будем считать заданным расход жидкости через диффузор Q. (Q>0 – расходящийся поток).

В данном случае уравнения Навье-Стокса принимают вид

(4.11)

Граничные условия имеют вид

Последнее уравнение системы (4.11) можно представить так

из которого следует, что скорость потока должна иметь следующую структуру

где функция должна находиться из уравнений (4.11) и граничных условий

(4.12)

К сожалению, первое уравнение Навье-Стокса (4. 9) не дает возможности избавиться от переменной чтобы получить уравнение для функции , так как слева в уравнении стоит слагаемое , а в правой части - слагаемое и ему аналогичные. Поэтому сделанное нами допущение о чисто радиальном характере течения жидкости в коническом диффузоре является некорректными, а течение в коническом диффузоре рассмотренного типа не может быть одномерным. Скорее всего, в этом течении будет присутствовать еще окружная скорость , а траекториями частиц будут раскручивающиеся (Q>0) или скручивающиеся (Q<0) спирали, а не прямые линии, как мы предположили.

Главный вывод, который можно сделать из изложенного, заключается в том, что природа может не давать никакой возможности реализовываться простым одномерным течениям ни при каких числах Рейнольдса, хотя они и кажутся нам очевидными.

97-101   |  Алаксеева А. 104-112  |  Заярный Н.   (пока нет) 113-122  |  Клименко А. 123-129  |  Ломакин Н. 133-143  |  Маматкова П.  (пока нет) 144-150  |  Сивковская Е. 151-165  |  Федотчев О.

104 – 112. Набрать формулы в ворде – 2003.

Старые не уничтожать!