1.6. Уравнение Гельмгольца для вихрей в вязкой несжимаемой жидкости
Вихревые поля в жидкости характеризуют особенности поведения полей скоростей в ней, которые порождаются силовым и тепловым воздействием на жидкость. В несжимаемой жидкости с постоянным значением вязкости тепловые поля не влияют на поля скоростей. Поэтому поведение векторных полей вихрей в такой жидкости может быть изучено только по векторным полям скоростей, свойства которых определяются решением уравнения Навье-Стокса (1.29) при соответствующих начальных и краевых условиях.
Используя
уравнение Навье-Стокса (1.29) можно найти
уравнение, которому удовлетворяет вихрь
скорости
Для удобства вычислений обозначим индексом С вектор, если он не подвержен операции дифференцирования. Предварительно учитываем, что имеют место равенства
,
Откуда следует, что
Полученные формулы используем для преобразований, которые будем производить с уравнением Навье–Стокса.. Замечаем, что уравнение (1.29), можно записать в виде
(1.31)
Применяем
оператор “ротор” к обеим частям
полученного уравнения. что достигается
векторным умножением слева этого
векторного равенства на векторный
оператор
(“набла”). Получаем
(1.32)
Далее учитываем, что
Здесь по формуле “bac минус cab” имеем
Так как
и для несжимаемой жидкости
,
то получаем равенство
(1.32)
Учитываем также перестановочность операторов дифференцирования по времени и координатам. Уравнение для вихрей, носящее имя Гельмгольца, принимает вид
или
Если силы
потенциальные (
,
то уравнение Гельмгольца принимает вид
(1.36)
При 
(идеальная
жидкость) уравнение(1.36)
выражает известную теорему Гельмгольца
о сохранении вихрей.
При 
,
очевидно, сохранения вихрей не может
быть и уравнение Гельмгольца показывает,
как происходит диффузия вихрей –
передача завихренности от одних частиц
жидкости к другим. Но для этого надо
найти решение этого уравнения – найти
.
В случае плоского
движения в плоскости x,y
отличной от
нуля может быть только одна компонента
вихря скорости
и
в этом случае
уравнение Гельмгольца принимает вид
(1.38)
Для плоского течения несжимаемой жидкости можно ввести функцию тока по формулам
При этом имеет место связь между функцией тока и завихренностью потока
Из уравнения (1.38) получаем уравнение для функции тока в плоском течении вязкой несжимаемой жидкости
(1.32)