9.4.3. Игра «Аукцион»

Для управления течением этих конфликтов разработана игровая модель – «Аукцион». Суть игры в следующем: подразделения-игроки по очереди предоставляют центру свои заявки на получение ресурса с указанием характеристик производственной функции в денежном выражении. Центр осуществляет распределение в соответствии с математической моделью, которая составлена таким образом, чтобы наибольшее количество ресурса получали те игроки, у которых лучшие производственные функции – большая эффективность использования предоставленного ресурса. Занижать свои возможности перед центром становится невыгодно для игроков с точки зрения победы в конфликте подразделений. Таким образом, управляя развитием конфликта «подразделение - подразделение», центр продвигается к победе в конфликте «подразделение - центр».

Рассмотрим математическую модель. В реальных условиях производственная функция игрока неизвестна партнерам. Она скрывается игроком от всех остальных участников процесса, в том числе и от центра. Поэтому в начальной стадии игры центр должен ее идентифицировать для всех игроков, представляющих инцидентные ему подразделения, участвующие в распределении. (Часто аналитическое выражение этой функции неизвестно и самим игрокам, представляющим данный элемент).

Игра "Аукцион" состоит из двух компонентов - идентификации производственных функций элементов центром, которые уточняются с каждым шагом, и многошагового решения задачи оптимального распределения.

Прежде всего, осуществляется начальная идентификация производственной функции для каждого игрока в виде рабочего участка ее аналитического выражения, представленного формулой

П_ij= a_ij_ij^ij , (9.1)

где П_ij - стоимость продукции, произведенной j-тым игроком i-го уровня, _ij - величина дотации, выделенной для j-го игрока i-го звена, а_ij, _ij - параметры производственной функции. Вид производственной функции и её аппроксимация параболой представлен на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Производственная функция и её аппроксимация.

Чтобы выделить рабочий участок на производственной функции, экспертами соответствующего элемента системы указываются две точки, где стоимость производимых благ равна (П_ij)_min , (П_ij)_max. Предполагается, что рабочим участком производственной функции считается участок от точки перегиба до точки максимума, но в задаче развития в кризисной ситуации нижней границей участка производственной функции, с которым будет проведена работа, может считаться точка, соответствующая минимальному необходимому для выживания ресурсу. Располагая этими данными, составляются равенства

(П_ij)_min= a_ij(_ij)_min^ij ,

(П_ij)_max= a_ij(_ij)_max^{ij ,} (9.2)

где а_ij и _ij - неизвестные параметры, подлежащие идентификации.

Логарифмируя соотношения (9.2), аналитики для каждого элемента определяют функцию П_ij, которая на участке (П_ij)_min, - (П_ij)_max с достаточной для практических целей точностью аппроксимирует производственную функцию в начальном приближении.

, (9.3 )

. (9.4)

Примечание. Чтобы аппроксимировать производственную функцию на рабочем участке выражением (9.1) необходимо, чтобы угловые коэффициенты точек с координатами П_min, _min и П_max, _max удовлетворяли условию

. (9.5)

Центр заинтересован в том, чтобы получить наибольшее количество продуктов производства подразделений, не затратив при этом слишком много ресурса.

В качестве целевой функции центра можно принять следующее выражение, основанное на характеристиках а_ij , _ij для всех j

Э_i= , (9.6)

при ограничениях

, (9.7)

где Э_i - эффективность деятельности звена, которая максимизируется при ограничениях, определенных для каждого игрока в виде неравенств

, (9.8)

указанных игроками в процессе идентификации производственной функции.

Равенство (9.7) задано центру после розыгрыша игры на предыдущем, верхнем уровне, где этот центр фигурировал в качестве игрока.

Целью игрока является получение как можно большего количества ресурса в условиях ограничений, накладываемых собственными производственными возможностями и при этом передача центру как можно меньшего количества продукта производства. Целевой функцией подразделения можно назвать выражение

.

Используя метод множителей Лагранжа, функционал записывается в форме

, (9.9)

,

,

где _ij нормированные величины ресурсов. (Для упрощения записи они обозначены той же буквой _ij, которой обозначались их ненормированные значения).

Продифференцировав эту функцию по _ij, получим систему уравнений

. (9.10)

Откуда

, (2.11)

где

Из условия следует

. (9.12)

Решив уравнение (9.12) относительно , найдем удовлетворяющее нас решение, которое подставим в систему (9.10) и найдем значения планов распределения ресурса P⁰.

Анализируя полученное решение, обратим внимание на его особенность - оно не удовлетворяет ограничениям (9.8).

Для их учета составим множества:

,

где ⁰N - общее число игроков i-го звена.

Значком ^ обозначены решения задачи, полученные без учета ограничений (9.8).

Чтобы учесть неучтенные ограничения, центр сначала удовлетворяет элементы, вошедшие в множество ⁰К₁. Для игроков из этого множества выделяется ресурс

.

Тогда для оставшихся элементов ограничение (9.12) примет вид:

, (9.13)

где К₁ - множество исполнителей, получивших максимально допустимый объем ресурсов _ij.

Решим укороченную после удовлетворения запросов игроков из множества К₁ задачу оптимального распределения для остальных.

Новое распределение, кроме игроков, вошедших в множество ⁰К₁ , будет содержать дополнительно некоторое число игроков, которым требуется выдать ресурсы в количестве . Удовлетворив всех исполнителей, для которых , составим множества ¹К₁, ¹N₁, ¹К_I, где - игроки, вышедшие на ограничения после решения задачи (2.13).

Повторяя приближения для элементов, вошедших в множество ^IK_II, добиваются того, что на q-м приближении

Если при этом и множество ^qK_II пусто, проблема решена.

Если же , перед центром стает дилемма - либо исключить из процесса аукциона игроков, которым нужно выделить ресурсы в объеме , либо выделить для них ресурсы из резерва в минимальном объеме и продолжить процесс последовательных приближений.

В первом случае можно перейти ко второй стадии проведения аукциона, а во втором - центру придется сделать ряд новых приближений, чтобы вывести предприятия, вышедшие из множества K_II, на ограничения .

С этой целью всем игрокам из множества ^qK_II выделяются ресурсы в объеме , производится оптимальное распределение остатка ресурсов между игроками, как это делалось при попытке добиться режима, когда

В результате число игроков, вошедших в множество К₁, изменится. Последовательно повторяя приближения, то выводя на ограничения игроков из множества ^qK₁, то из множества ^qK_II, центр на g-том шаге добивается удовлетворения всех ограничений (9.8). Процесс будет завершен по достижении условий

Располагая значениями ₀П_ij и ₀_ij, объявленными игроками, и величинами П_ij⁰ и _ij⁰, определяемыми в результате решения оптимизационной задачи (9.9), центр на основе равенств , где g - номер попытки j-го игрока увеличить свой выигрыш. Для этого всех игроков определяют новые стартовые значения параметров и приглашает их продолжить аукцион [9.7].

Игра завершается когда все игроки отказываются от улучшения своих показателей. После выхода всех участников из игры центр объявляет окончательное распределение ресурсов и согласованные объемы производства предприятий, которые представляли участники игры.