Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок

Чтобы вычислить механические характеристики тонких пластинок, занимающих область DXOY, (массу, статические моменты, моменты инерции), нужно заметить, что все эти величины являются аддитивными, и применить общую методику приложений интегрального исчисления.

Сначала нужно вспомнить простейшие формулы из физики:

1)		- так вычислить массу пластинки, площадь которой , а поверхностная плотность материала является постоянной величиной;
2)		если точечная масса расположена на расстоянии от оси , то её статический момент относительно оси вычисляется по формуле ;
	при этом точки, расположенные по разные стороны от прямой , имеют статические моменты разных знаков;
3)	момент инерции точечной массы относительно оси вычисляется по формуле , а относительно некоторой точки - по формуле , где - это расстояние от материальной точки до точки .

Эти формулы нельзя применить к вычислению массы или моментов всей пластинки, занимающей конечную часть плоскости, так как есть неоднородность или по плотности или по расстояниям и для различных точек пластинки.

В соответствии с методикой приложения интегрального исчисления, разбиваем область D, занятую пластинкой, на малые (элементарные) части и составляем формулу для элементарного слагаемого искомой характеристики (Рис. 11), используя физические упрощения (например, можно считать каждую элементарную часть однородной или заменить её точечной массой). Затем суммируем все элементарные слагаемые и переходим к пределу при условии, что все элементарные части неограниченно измельчаются, убирая этим погрешность, допущенную при составлении элементарных слагаемых. В результате выходим на определение двойного интеграла по области D от некоторой функции координат x, y:

,

где - это элементарная площадь

- это элементарное слагаемое величины , аддитивной по области D .

Формула для вычисления массы неоднородной пластинки имеющей поверхностную плотность :

каждую элементарную часть пластинки считаем однородной, тогда

(4)

Формула для вычисления статических моментов тонких пластинок относительно координатных осей:

считаем каждую элементарную часть точечной массой; тогда

	(5)
Статический момент пластинки относительно оси Oy Статический момент тонкой пластинки относительно оси Ox	(6)

Формулы для вычисления моментов инерции тонких пластинок относительно координатных осей:

	(7)
	(8)

Формула для вычислеия момента инерции пластинки относительно точки начала координат:

(9)

Примеры 3 (вычисление механических характеристик тонких пластинок)

1.	Вычислить массу тонкого кольца, занимающего область D: , если поверхностная плотность материала в точке обратно пропорциональна квадрату расстояния от этой точки до начала координат и в точке равна 1.

Решение

Составляем формулу для плотности: , -коэффициент пропорциональности , так как ; если , то , то ; окончательно получаем, что .

Составляем формулу для массы кольца аналогично тому, как была составлена формула (4):

.

Теперь вычисляем двойной интеграл в полярных координатах:

,

Ответ: (единиц массы).

2.	Вычислить момент инерции I однородного квадрата со стороной a относительно его вершины.

Решение

Поместив квадрат в систему XOY, составляем формулу для искомого момента инерции: , где

Теперь вычисляем двойной интеграл в декартовых координатах, записав область D неравенствами и учитывая, что :

Ответ: (единиц момента инерции).