Физическая трактовка криволинейного интеграла II рода

Если P(x,y) и Q(x,y) рассматривать как проекции на оси OX и OY вектора силы , то — это работа переменной силы , совершаемая на криволинейном перемещении (AB).

 Действительно, каждое слагаемое интегральной суммы (3) можно трактовать как скалярное произведение вектора на вектор прямолинейного перемещения :

– это работа постоянной силы на прямолинейном перемещении .

Как известно из физики, работа есть величина аддитивная. Поэтому интегральная сумма может трактоваться как сумма работ, совершаемых постоянными силами на прямолинейных перемещениях . При вычислении предела интегральной суммы при прямолинейные участки неограниченно уменьшаются, так что перемещение материальной точки совершается по кривой (AB) и под действием переменной силы , заданной в каждой точке линии (AB):

– это работа по перемещению материальной точки по кривой (AB) из положения А в положение В под действием переменной силы 

В связи с физическим смыслом криволинейного интеграла II рода его подынтегральное выражение часто записывают в векторной форме:

,

(5)

где , ,

- это скалярное произведение векторов и .

Основные свойства криволинейного интеграла II рода

Свойство 1 (линейность криволинейного интеграла II рода по подынтегральному выражению)

Свойство 2 (аддитивность криволинейного интеграла II рода по линии интегрирования)

, где точка С – это любая точка на линии (АВ).

Свойство 3 (зависимость криволинейного интеграла II рода от направления на линии интегрирования)

 Действительно, при изменении направления на дуге (АВ) проекции вектора изменят свои знаки, следовательно, изменит знак интегральная сумма и её предел (3). 

Свойство 4 (достаточное условие существования криволинейного интеграла II рода)

Если функции и являются непрерывными в каждой точке линии (AB), то существует

Вычисление криволинейного интеграла II рода в двумерном случае (Как вычисляется криволинейный интеграл II рода?)

Пусть линия (AB) задана параметрически: ,

причем x(t) и y(t) — непрерывные и дифференцируемые функции,

t_A, t_B — это значения параметра t для начала и конца линии (AB).

Рассмотрим криволинейный интеграл (4) от одного слагаемого: (6) В каждом слагаемом интегральной суммы можно сделать преобразования по теореме Лагранжа для дифференцируемой функции одной переменной: ,

где — это фиксированное значение аргумента t из промежутка между точками t_i-1 и t_i;

при этом x_i0 означает, что t_i0 вследствие непрерывности функции x(t).

Выберем , что всегда возможно, так как можно выбирать произвольно на каждой части разбиения.

Если учесть, что в определении (6) означает, что , то формула (6) преобразуется к следующему виду:

.

Получился предел интегральной суммы для определенного интеграла по переменной изменяется от значения до значения , от функции , поэтому криволинейный интеграл (6) сводится к определенному интегралу по переменной t:

Аналогично: .

Если сложить оба результата, то получится формула сведения криволинейного интеграла II рода к определенному интегралу:

Формула сведения криволинейного интеграла II рода к определенному интегралу (7) где t_A, t_B — это значения параметра t для начала и конца линии (AB).

Аналогичная формула составляется и для трехмерного криволинейного интеграла (1) по пространственной кривой (AB):

(8)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла II рода сводится к вычислению определенного интеграла по параметру, через который записаны уравнения линии интегрирования (АВ). При этом в качестве параметра можно взять любую независимую переменную на линии (АВ), а далее нужно выражать всё подынтегральное выражение в криволинейном интеграле через эту независимую переменную (параметр) и её дифференциал.

Замечание

Если в двумерном случае дуга (AB) задана уравнением y = y(x), то в качестве независимой переменной (параметра) может быть взята переменная x, и формула (7) в этом случае примет следующий вид

(7^') Если же дуга (АВ) задана уравнением x = x(y), то в качестве независимой переменной (параметра) может быть взята переменная y, и тогда сведение криволинейного интеграла к определенному интегралу по y описывается следующей формулой:

(7^'')

Примеры 1 (вычисление криволинейных интегралов II рода)

1. Вычислить , где (AB) — это верхняя полуокружность радиуса R, проходимая против часовой стрелки.

Решение

Вычислить , где (OA) — это дуга параболы y = x2 от точки O(0;0) до A(1;1). Решение

На линии (OA) можно в качестве параметра взять независимую переменную x и пересчитать все подынтегральное выражение через x и ее дифференциал dx :

Теперь сводим криволинейный интеграл к определенному интегралу по переменной x:

.

3. Вычислить , где (АВ) – это дуга линии , , .

Решение

На линии (АВ) возьмем в качестве независимой переменной и вычислим данный криволинейный интеграл по формуле (7"):

Отрицательное значение работы можно объяснить так: под действием данной силы перемещение материальной точки должно совершаться из точки в точку ; поэтому вычисленное значение - это значение работы, которую нужно затратить против силы .

Ответ: (единиц работы).

Примеры 2 (вычисление работы переменной силы на криволинейном перемещении)

1. Вычислить работу, производимую силой при перемещении материальной точки вдоль дуги кривой из положения в положение .

Решение

По физической трактовке криволинейного интеграла II рода составляем формулу для искомой работы ;

2. Сила по величине обратно пропорциональна расстоянию точки ее приложения от оси OZ, перпендикулярна к этой оси и направлена к ней. Найти работу силы при движении точки под действием этой силы по окружности от точки до точки .

Решение

Сделаем несколько иллюстраций к условию задачи:

;

, так как

,

так как , - коэффициент пропорциональности.

Вычисляем искомую работу с помощью криволинейного интеграла II рода:

Ответ: (единиц работы).