Правило перевода двойного интеграла в систему полярных координат (Сформулируйте правило перевода двойного интеграла в систему полярных координат)

Чтобы перевести двойной интеграл из декартовой системы координат в систему полярных координат , нужно в подынтегральной функции сделать замену переменных и бесконечно малый элемент площади записать по формуле

Переведенный в полярные координаты двойной интеграл сводится к повторному интегралу по имеющейся записи области D неравенствами для переменных   и  . В результате получается формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

(3)

Примеры 3 (вычисление двойных интегралов в полярных координатах)

1. Вычислить , где . Решение Строим область D и записываем ее системой неравенств в полярных координатах:
По формуле (3) получим:

2. Вычислить , где

Решение

Строим область D и записываем ее неравенствами в полярных координатах

При этом уравнение окружности со смещенным центром переведено в полярные координаты: .

Теперь переводим данный двойной интеграл в полярные координаты по формуле (3) и сводим его к повторному интегралу в соответствии с записью области D неравенствами:

Формула замены переменных в двойном интеграле

(Запишите общую формулу замены переменных в двойном интеграле)

Пусть точка (x,y)D и переменные x, y являются функциями новых переменных u и v: ,

причем эти функции являются однозначными, непрерывными и имеющими непрерывные частные производные. Тогда существует формула замены переменных в двойном интеграле, которая имеет следующий вид:

(4)

Формула замены переменных в двойном интеграле Здесь — это функциональный определитель Якоби (якобиан), с помощью которого пересчитывается дифференциал площади:

Область совпадает с областью D, если рассматривать как криволинейные координаты точки M(x,y)XOY. Если же (u,v) рассматривать как прямоугольные координаты в другой плоскости UOV, то   UOV – это область, которая однозначно отображается в область D XOY функциями x = x(u,v) и y = y(u,v).

Замечание

К. Якоби (1804-1851) – немецкий математик, член ряда европейских академий, в частности, почетный член Петербургской Академии наук.

Пример 4 (применение формулы замены переменных в двойном интеграле)

, если Выполним полярную замену переменных x, y:

Здесь совпадает с , если рассматривать полярные координаты (φ, ρ) как криволинейные координаты точки M(x, y) в совмещённых декартовой и полярной системах координат. Если же рассматривать координаты (φ, ρ) как прямоугольные в другой плоскости, то область имеет другую форму, а именно форму прямоугольника.

Таким образом, выполненная полярная замена переменных хорошо иллюстрирует формулу (4).

§3. Тройные интегралы: определение, свойства, механическая трактовка, вычисление в декартовых, в цилиндрических и в сферических координатах Содержание

Оглавление 2

ТЕМА I. Кратные интегралы 3

§1. Двойной интеграл: определение, свойства, 3

механическая и геометрическая трактовки 3

1.1. Определение двойного интеграла 6

1.2. Основные свойства двойного интеграла 7

1.3. Механическая трактовка двойного интеграла 9

1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла 9

§2. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах в двойном интеграле 11

Две формулы для вычисления двойного интеграла в декартовых координатах 14

Задача об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле (Как изменяется порядок интегрирования в повторном интеграле?) 18

Формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах 19

Формула замены переменных в двойном интеграле 22

§3. Тройные интегралы: определение, свойства, механическая трактовка, вычисление в декартовых, в цилиндрических и в сферических координатах 24

Определение тройного интеграла и его основные свойства 27

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 29

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 31

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах 33

§ 4. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и механики 34

Вычисление площади плоской фигуры, занимающей область D 37

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла 38

Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок 40

Координаты центра масс пластинки 43

Приложения тройных интегралов 44

(13) 45

Здесь - это объемная плотность распределения массы. 45

ТЕМА II. Криволинейные и поверхностные интегралы 50

§5. Криволинейные интегралы I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения 50

Определение криволинейного интеграла I рода 53

Основные свойства криволинейного интеграла I рода 54

Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода) 54

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода 57

§6.Криволинейные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление 60

Определение криволинейного интеграла II рода 63

Физическая трактовка криволинейного интеграла II рода 64

Основные свойства криволинейного интеграла II рода 65

Вычисление криволинейного интеграла II рода в двумерном случае (Как вычисляется криволинейный интеграл II рода?) 66

§7. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 72

Вывод формулы Грина 75

Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 79

§ 8. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования 81

Формулировка и доказательство теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в двумерном случае 85

Формулировка теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в трехмерном случае 88

§9. Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу 92

Постановка задачи в двумерном случае 95

Описание решения 95

§10. Поверхностный интеграл I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения 100

Определение и основные свойства поверхностного интеграла I рода 103

Вычисление поверхностного интеграла I рода 104

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода 106

§11. Поверхностные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса 110

Определение и физическая трактовка поверхностного интеграла II рода 113

Основные свойства поверхностного интеграла II рода: 115

Вычисление поверхностного интеграла II рода 116

Формула Стокса 117