Ротор и его основные свойства

Определение ротора векторного поля

Ротором или вихрем векторного поля называется вектор с проекциями (4)

Основные свойства ротора

1. — это векторная величина, которая является дифференциальной (т.е. точечной) характеристикой векторного поля .

2. — свойство линейности.

3. Ротор произведения скалярной и векторной функции вычисляется по формуле: .





4. Физический смысл ротора

Некоторое физическое истолкование понятия ротора можно получить, если рассматривать векторное поле линейных скоростей твердого тела (материальной точки M), вращающегося вокруг оси с постоянной угловой скоростью .

Из физики известно, что , где - это угловая скорость вращения, - это радиус вектор точки М.

Поэтому

то есть поле линейных скоростей тела, вращающегося вокруг неподвижной оси есть плоское векторное поле.

Вычислим его ротор равен:

то есть ;

Следовательно, ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости вращения. Таким образом, характеризует вращательную способность поля , наличие у этого поля “закрученных” векторных линий или “вихрей”.

В технической литературе ротор векторного поля часто называют вихрем этого поля.

Примеры 2 (вычисление ротора векторного поля)

1. Вычислить ротор радиус-вектора точки .

Решение

Составляем формулу (4) для и делаем вычисления: , ,

векторное поле не обладает вращательной способностью.

2. Вычислить , если .

Решение

Записываем проекции данного векторного поля: , ,

и по формуле (4) получаем, что

Из рассмотренного примера следует, что любое векторное поле сопровождается другим векторным полем его ротора.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Вычислите дивергенцию (расходимость) и ротор (вихрь) следующих векторных полей:

1. 

2. 

3. 

2. Векторное поле образовано силой, имеющей постоянную величину и направление положительной оси абсцисс. Вычислите дивергенцию и ротор этого поля.

3. Плоское векторное поле образовано силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния от точки ее приложения до начала координат и направленной к началу координат (например, плоское электрическое поле, образованное точечным зарядом). Найдите дивергенцию и ротор этого поля.

4. Найдите дивергенцию и ротор пространственного поля, если силы поля подчинены тем же условиям, что и в задаче 3.

5. Векторное поле образовано силой, обратно пропорционально расстоянию от точки ее приложения до оси OZ, перпендикулярной к этой оси и направленной к ней. Вычислите дивергенцию и ротор этого поля.

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1. а) ;

б) ;

в) .

2. .

3. , - коэффициент пропорциональности, - расстояние от точки приложения силы до начала координат;

.

4. .

5. , в точках оси OZ поле не определенно.