Поток векторного поля и его свойства

Пусть в области имеем двустороннюю поверхность с указанным на ней вектором единичной нормали .

Определение потока векторного поля

Поток векторного поля через ориентированную поверхность — это интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора на единичный вектор нормали к поверхности . (3)

Так как , то поток – это поверхностный интеграл от нормальной составляющей вектора , (Рис. 25).

Свойства потока

1. Поток — это интегральная характеристика векторного поля, является скалярной величиной.

2. зависит от направления нормали к поверхности : если изменить направление на противоположное, то изменит знак.

3. Если поток вычисляется по замкнутой поверхности в направлении ее внешней нормали: , (Рис. 26), то его величина имеет следующие истолкования:

• если , то говорят, что внутри поверхности источники и стоки поля уравновешивают друг друга;

• если , то говорят, что внутри поверхности преобладают источники поля ;

• если , то говорят, что внутри поверхности преобладают стоки поля .

4. Можно вывести удобные формулы для вычисления :

если поверхность задана уравнением , то вектор ее нормали в любой точке равен  единичный вектор нормали равен



(4)

«+» брать в случае, когда вектор и вектор , указанный в задаче, совпадают по направлению; «-», если эти векторы противоположны.

Для вычисления поверхностного интеграла (4) поверхность проектируют на одну из координатных плоскостей, например в область . Тогда

, где 

(4')

Примеры 2 (вычисление потока векторного поля)

1. Дано векторное поле . Вычислить поток вектора через часть поверхности сфера , расположенную в I октанте, в направлении нормали, образующей острый угол с осью .

Решение

; : . . При в I октанте образует острый угол с , поэтому в формуле (4) надо брать знак «+»

.

2. Вычислить поток радиус-вектора точки через поверхность цилиндра радиуса и высоты , стоящего на плоскости так, что ось является его осью симметрии. Направление нормали — внешнее.

Решение

, где — поток через боковую поверхность; — поток через верхнее основание; — поток через нижнее основание. .

;

;

.

.

Так как получилось , то внутри цилиндра находятся источники данного векторного поля.

Таким образом, вычисление потока векторного поля через заданную поверхность можно проводить как по формуле (4), так и непосредственно по его определению.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Найдите векторные линии заданных векторных полей:

1. б) в) .

2. Вычислить поток радиуса-вектора через боковую поверхность круглого конуса, основание которого находится на плоскости XOY, а ось совпадает с осью OZ. Высота конуса равна 1, радиус основания равен 2. Направление нормали внешнее

3. Вычислите поток вектора через часть сферы , заключенной в первом октанте. Направление нормали возьмите «от начала координат».

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1. а) прямые - фиксированная точка;

б) прямые , С – произвольная постоянная;

в) , С – произвольная постоянная.

2. . 3. .