Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Определение криволинейного интеграла II рода

Общий вид криволинейного интеграла II рода в трехмерном случае:

Общий вид криволинейного интеграла II рода в трехмерном случае (1) где (AB) — это дуга пространственной кривой от точки A до точки B с указанным на ней направлением.

Общий вид криволинейного интеграла II рода в двумерном случае по дуге AB и по замкнутому контуру l:

при этом по умолчанию направление на фиксируется против часовой стрелки

(2)

Сумму слагаемых в подынтегральном выражении в криволинейном интеграле II рода принято записывать без скобок.

Определение криволинейного интеграла ii рода в двумерном случае

Дугу кривой (AB) разбиваем на n элементарных частей точками A = M0, M1, …, Mn = B; обозначим проекции i-той элементарной части на координатной оси:   , ; рангом разбиения назовем число , где - длина хорды, (Рис. 14). 2. На каждой элементарной части (Mi-1Mi) выбираем произвольную точку  и вычисляем в ней значения двух функций:  и  . 3. Составляем интегральную сумму (3) и вычисляем ее предел при . 4. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги (AB) на элементарные части, ни от выбора точки на каждой элементарной части, то он называется криволинейным интегралом II рода по дуге (AB) от выражения и обозначается (4) Криволинейный интеграл II рода по дуге (AB)

Определение в трёхмерном случае составляется аналогично