Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

1.1.Определение двойного интеграла

Полное определение двойного интеграла

Рассмотрим функцию двух переменных , заданную и непрерывную в замкнутой области D XOY. Разобьем область D на n малых элементарных частей произвольным образом. Обозначим через Si площадь i-ой части, а через di - диаметр i-ой части. Число  = max , где i = 1,…,n, назовем рангом разбиения двумерной области D. В каждой части разбиения выберем произвольную точку Pi (xi,yi) и вычислим значение функции f в ней: f ( ) = f (Pi), i = 1, …, n, (Рис. 1) Составим сумму парных произведений значений функции f (Pi) на площади Si соответствующих частей разбиения: (1) эта сумма называется двумерной интегральной суммой функции f(x,y) в области D (двумерной суммой Римана). Вычислим предел интегральной суммы (1) при условии, что ранг разбиения . Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения области D на элементарные части и от выбора точек Pi в каждой части, то он называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D. Обозначение и терминология: (2) D — область интегрирования; f (x,y) — подынтегральная функция; f (x,y)dS — подынтегральное выражение; dS — бесконечно малый элемент области интегрирования (дифференциал площади плоской области).

Краткая формулировка определения двойного интеграла (Кратко сформулируйте определение двойного интеграла)

Двойным интегралом от функции f (x,y) по области D называется конечный предел двумерной интегральной суммы, вычисленный при стремлении к нулю ранга разбиения, порождающего эту сумму.

Диаметр плоской фигуры (Что такое диаметр плоской фигуры?)

Диаметр d плоской геометрической фигуры — это длина наибольшей хорды этой фигуры, то есть наибольшее расстояние между двумя точками этой фигуры.

Достаточное условие существования двойного интеграла (Сформулируйте достаточное условие существования двойного интеграла)

Если функция z = f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D существует.

1.2.Основные свойства двойного интеграла

(доказываются аналогично свойствам определенного интеграла)

Свойство 1 (о линейности двойного интеграла по подынтегральной функции)

Двойной интеграл от линейной комбинации функций равен аналогичной линейной комбинации двойных интегралов от каждой из функций:

,

где — постоянные множители по x и по y.

Свойство 2 (об аддитивности двойного интеграла по области интегрирования)

Если D = D1  D2, то

Свойство 3 (о значении двойного интеграла от функции, тождественно равной единице)

Если подынтегральная функция f (x,y)  1 на области D, то двойной интеграл от функции f (x,y) по области D равен площади (мере) области интегрирования:

Свойство 4 (оценки значения двойного интеграла)

1. Если m и M — наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области D, то

2. Если при (x,y)D, то

- площадь области

Свойство 5 (об интегрировании неравенств двойным интегралом)

Если при верно неравенство , то , то есть двойной интеграл от бóльшей функции имеет бóльшее значение (при условии, что оба интеграла существуют).

Свойство 6 (теорема о среднем)

Если функция f (x,y) непрерывна в области D, то существует хотя бы одна точка P₀(x₀,y₀)D, такая что

Число называется средним значением функции f (x,y) в области D.

1.3.Механическая трактовка двойного интеграла

Если область D занята тонкой пластинкой и функция f(x,y) 0 задает поверхностную плотность распределения неоднородного материала (то есть величину массы на единицу площади), то двойной интеграл от функции f (x,y) по области D равен массе тонкой пластинки: (В чем состоит механическая трактовка двойного интеграла?)

Действительно, в определении двойного интеграла по формуле (2) можно провести следующее механическое истолкование:

f (P_i)∙S_i m_i — это масса элементарной части, вычисленная приближенно как для однородного материала;

— приближенное значение массы всех элементарных частей;

— это точное значение массы, так как при 0 все части разбиения неограниченно измельчаются и тем самым убирается погрешность, допущенная при вычислении m_i.