Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Определение криволинейного интеграла I рода

Общий вид криволинейного интеграла I рода, или криволинейного интеграла по длине дуги:

или ; - двумерный случай

Определение

1. Дугу кривой или в пространстве XOYZ разбиваем на n малых частей точками M0=A, M1,…, Mn=B; обозначаем длины хорд , (Рис. 13) EMBED Word.Picture.8 2. Вычисляем значения функции f (x,y,z) в произвольно выбираемых точках на i-той части разбиения и умножаем их на соответствующие длины хорд Δli: , 3. Составляем интегральную сумму и вычисляем её предел при λ → 0, где – это ранг разбиения. 4. Если предел интегральной суммы существует, является конечным и не зависит ни от способа разбиения дуги (l) на элементарные части, ни от выбора на них точек , то он называется криволинейным интегралом I рода от функции f (x, y, z) по линии l: (1) Криволинейный интеграл I рода

Механическая трактовка криволинейного интеграла I рода (В чем состоит механическая трактовка криволинейного интеграла I рода?)

Если — это линейная плотность распределения материала по линии l (т.е. количество материала на единицу длины), то

— это «масса» тяжелой линии (l).

Основные свойства криволинейного интеграла I рода

Аналогичны свойствам определенных и кратных интегралов.

Свойство 1 (линейность криволинейного интеграла I рода по подынтегральной функции)

где c₁,с₂ – постоянные по x, y, z.

Свойство 2 (аддитивность криволинейного интеграла I рода по линии интегрирования)

Если (l)=(l₁) (l₂), то

Свойство 3 (значение криволинейного интеграла I рода от функции, тождественно равной единице на линии интегрирования)

Если на (АВ), то — длина дуги линии (АВ).

Свойство 4 (достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода)

Если функция является непрерывной для , то существует.

Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода)

Если записать параметрические уравнения линии (l): ,

в которых функции , , являются дифференцируемыми, то можно показать, что дифференциал длины дуги dl пересчитывается по формуле, аналогичной формуле для дифференциала длины дуги плоской линии (см. тему «Интегральное исчисление функции одной переменной»):

,

а криволинейный интеграл I рода сводится к определенному интегралу по переменной .

В результате получается следующая формула для вычисления криволинейного интеграла I рода:

(2)

Формула для вычисления криволинейного интеграла I родаПри этом в качестве параметра t на линии (l) можно брать любую независимую переменную.

В частности, если дан двумерный криволинейный интеграл и линия интегрирования l является графиком функции , , то в качестве параметра можно взять независимую переменную x: тогда и формула сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу будет иметь вид:

.

(3)

Если плоская линия l задана уравнением , в полярной системе координат, то в качестве параметра нужно брать полярный угол и использовать связь между полярными и декартовыми координатами: , . Тогда

формула сведения крволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в полярных координатах:

(4)

При составлении формул (2)-(4) нужно учитывать, что значение криволинейного интеграла I рода не зависит от направления на линии интегрирования l, поэтому всегда в следствие этого пределы интегрирования по независимой переменной «от до » всегда такие, что < .

Пример 1 (вычисление криволинейного интеграла I рода)

Вычислить , где (l)— это отрезок прямой, соединяющий точки А(1; 2; 3) и

В(-4; 8; 4).

Решение

Составляем параметрические уравнения прямой в пространстве по двум её известным точкам:

Находим пределы изменения для t на отрезке AB: t_A=0, t_B=1

Сводим искомый криволинейный интеграл к определенному интегралу по , используя формулу (2), в которой :

.

2. Вычислить , где l – это часть кардиоиды , .

Решение

; ; ,

так как при ;

.