Соленоидальные поля и их свойства

Определение соленоидального векторного поля

Поле называется соленоидальным векторным полем в односвязной области D, если в любой точке этой области его дивергенция равна нулю:

Основные свойства соленоидальных полей

1. Если векторное поле соленоидально, то поток этого поля через любую замкнутую поверхность равен 0.

Действительно, по определению потока с использованием формулы Остроградского-Гаусса получим, что 

2. Если векторное поле можно представить в виде ротора другого векторного поля , которое называют векторным потенциалом векторного поля , то поле является соленоидальным.

Действительно, если то 

3. В соленоидальном поле источники и стоки отсутствуют (так как во всех точках M) , следовательно, векторные линии такого поля не имеют начала и конца и либо являются замкнутыми, либо уходят в бесконечность.

Пример 2 (определение соленоидальности векторного поля)

Определить, являются ли соленоидальными следующие поля:

; ; .

Решение

поле является соленоидальным;

поле является соленоидальным;

поле не является соленоидальным.

Гармонические поля и их свойства

Определение гармонического векторного поля

Поле , являющееся одновременно и потенциальным и соленоидальным, называется гармоническим векторным полем: и .

Основные свойства гармонических полей

1. Потенциал гармонического поля удоволетворяет уравнению Лапласа: , где - оператор Лапласа

 Действительно, так как — потенциальное  Так как поле соленоидальное, то 

2. Можно показать, что произвольное векторное поле всегда может быть представлено в виде суммы двух векторных полей, одно из которых – потенциально, а другое — соленоидально.

Пример 3 (определение гармоничности векторного поля)

Проверить, являются ли гармоническими следующие поля:

; ; .

Решение

Признаком потенциальности векторного поля является равенство нулю его ротора.

Векторное поле является гармоническим, так как и (вычислялись в предыдущих примерах этого параграфа).

Для поля имеем, что , , поэтому поле не является гармоническим.

Для поля имеем , поэтому это поле не является гармоническим.

Упражнения для самостоятельной работы Глоссарий

векторная линия векторного поля это... (стр. 90)

векторное поле это... (стр. 90)

векторным дифференциальным оператором Гамильтона или оператором «набла» называется... (стр. 102)

векторным потенциалом векторного поля называется... (стр. 114)

векторными дифференциальными операциями второго порядка называется... (стр. 103)

векторными дифференциальными операциями первого порядка называется... (стр. 103)

гармоническим векторным полем называется... (стр. 115)

двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется... (стр. 5)

двумерной интегральной суммой функции f(x,y) в области D называется... (стр. 5)

двусторонней поверхностью называется... (стр. 84)

диаметр d плоской геометрической фигуры  это... (стр. 6)

дивиргенция (или расходимость) векторного поля в точке это... (стр. 96)

криволинейным интегралом I рода от функции

f (x, y, z) по линии l называется... (стр. 42)

криволинейным интегралом II рода по дуге (AB) называется... (стр. 49)

необходимое и достаточное условие полного дифференциала это... (стр. 71)

одно дифференциальное уравнение векторных линий плоского векторного поля это... (стр. 91)

односвязная область это... (стр. 111)

односторонней поверхностью называется... (стр. 84)

оператор Лапласа это... (стр. 104)

операторами дифференцирования называется... (стр. 102)

Ориентированной поверхностью называется... (стр. 85)

поверхностным интегралом I рода от функции f(x,y,z) по поверхности (() называется... (стр. 76)

потенциалом векторного поля называется... (стр. 108)

потенциалом векторного поля называется... (стр. 111)

потенциальным векторным полем называется... (стр. 108)

потенциальным векторным полем называется... (стр. 111)

поток векторного поля через ориентированную поверхность это... (стр. 92)

правильной областью в полярной системе координат называется... (стр. 15)

простые формулы для координат центра масс однородной пластинки это... (стр. 34)

работой векторного поля на участке кривой называется... (стр. 107)

рангом разбиения двумерной области D называется... (стр. 5)

ротор вектора в точке M это... (стр. 109)

ротором или вихрем векторного поля это... (стр. 99)

система дифференцальных уравнений векторных линий векторного поля это... (стр. 91)

смысл теоремы Остроградского-Гаусса это... (стр. 97)

смысл формулы Стокса это... (стр. 108)

соленоидальным векторным полем называется... (стр. 114)

средним значением

функции f(x,y,z) по области V называется... (стр. 22)

средним значением функции f (x,y) в области D называется... (стр. 8)

сферическим радиусом точки; называется... (стр. 26)

тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V называется... (стр. 20)

формула для вычислеия момента инерции пластинки относительно точки начала координат это... (стр. 32)

формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах это... (стр. 16)

формула для вычисления длины дуги линии с помощью криволинейного интеграла I рода это... (стр. 46)

формула для вычисления криволинейного интеграла I рода это... (стр. 44)

формула для вычисления массы неоднородной пластинки это... (стр. 31)

формула для вычисления массы трехмерного объекта, занимающего объем V это... (стр. 35)

формула для вычисления объема любого пространственного тела это... (стр. 35)

формула для вычисления объема тела с помощью двойного интеграла это... (стр. 29)

формула для вычисления объема цилиндроида это... (стр. 28)

формула для вычисления статических моментов тонких пластинок относительно координатных осей это... (стр. 31)

формула перевода тройного интеграла к сферическим координатам это... (стр. 27)

формула сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу это... (стр. 44)

формула сведения криволинейного интеграла II рода к определенному интегралу это... (стр. 52)

формула сведения поверхностного интеграла к двойному интегралу это... (стр. 78)

формула сведения тройного интеграла к трехкратному интегралу это... (стр. 23)

формула это... (стр. 57)

формулы для вычисления моментов инерции тонких пластинок относительно координатных осей это... (стр. 32)

формулы для вычисления статических моментов М и моментов инерции I трехмерных тел это... (стр. 37)

формулы для координат центра масс тонкой пластинки это... (стр. 33)

формулы для координат центра масс трехмерного тела это... (стр. 38)

функциональный определитель Якоби (якобиан это... (стр. 18)

цилиндрические координаты точки в пространстве XOYZ это... (стр. 24)

цилиндроид или цилиндрическое тело  это... (стр. 8)

циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется... (стр. 107)