Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Определение оператора Гамильтона

Условимся, что обозначение производных по переменным x, y, z можно формально рассматривать как произведение символов дифференцирования и дифференцируемой функции:

.

При этом считается, что символ дифференцирования срабатывает тогда и только тогда, когда дифференцируемая функция стоит справа от него, то есть:

.

При таком предствавлении символы называются операторами дифференцирования. Умножение каждого из них на функцию соответствует операции вычисления частной производной этой функции.

Определение векторного дифференциального оператора

Вектор, координатами которого являются операторы дифференцирования , называется векторным дифференциальным оператором Гамильтона или оператором «набла» и обозначается

Здесь — это орты координатных осей .

Правила действий с оператором Гамильтона

1. Умножение на скалярную функцию:

.

(1)

2. Скалярное произведение с векторной функцией:

.

(2)

3. Векторное произведение с векторной фукцией:

.

(3)

Если доказанное в предидущем параграфе свойство ротора

записать с помощью оператора «набла»

,

то можно увидеть проявление его дифференциальной природы, а именно: оператор действует напроизведение аналогично известному правилу дифференцирования произведения.