Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода

1. Вычисление площади поверхности ():

(3)

Вычисление площади поверхности

2. Вычисление массы поверхности (), если известна поверхностная плотность распределения масс:

(4)

Вычисление массы поверхности

Другие механические приложения (вычисление статических моментов, моментов инерции и координат центра масс поверхности) осуществляются аналогично приложениям двойных и тройных интегралов.

Студентам рекомендуется составить формулы этих приложений.

Примеры 2 (приложения поверхностного интеграла I рода)

1. Найти площадь поверхности части параболоида z = x² + y² при z  4.

Решение

Строим поверхность () – указанную часть параболоида и проецируем ее на область плоскости ХОУ:

в полярных координатах:

Решение

Ответ: (ед. площади)

2. Вычислить массу поверхности куба, на котором , , , если поверхностная плотность в точке равна .

Решение

Масса каждой из трех граней куба, лежащих в координатных плоскостях, равна нулю, так как на каждой из этих граней равна нулю одна из координат , или , поэтому равна нулю плотность распределения массы: , если или или .

Остается вычислить массы трех граней куба, не лежащих в координатных плоскостях:

;

.

Ответ: 0,75 (единиц массы).

3. Вычислить момент инерции части боковой поверхности конуса , относительно оси OZ, если поверхностная плотность материала является постоянной.

Решение

Если на боковой поверхности конуса () взять бесконечно малый элемент поверхности и точку на нем, то его расстояние до оси OZ будет равным .

Тогда момент инерции этого элемента относительно оси OZ будет равен

.

Момент инерции относительно OZ всей поверхности () получится как поверхностный интеграл I рода:

.

Вычислим составленный поверхностный интеграл сведением его к двойному интегралу по области , являющейся проекцией поверхности () на координатную плоскость :

.

Ответ: (единиц момента инерции).

§11. Поверхностные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса Содержание

Оглавление 2

ТЕМА I. Кратные интегралы 3

§1. Двойной интеграл: определение, свойства, 3

механическая и геометрическая трактовки 3

1.1. Определение двойного интеграла 6

1.2. Основные свойства двойного интеграла 7

1.3. Механическая трактовка двойного интеграла 9

1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла 9

§2. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах в двойном интеграле 11

Две формулы для вычисления двойного интеграла в декартовых координатах 14

Задача об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле (Как изменяется порядок интегрирования в повторном интеграле?) 18

Формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах 19

Формула замены переменных в двойном интеграле 22

§3. Тройные интегралы: определение, свойства, механическая трактовка, вычисление в декартовых, в цилиндрических и в сферических координатах 24

Определение тройного интеграла и его основные свойства 27

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 29

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 31

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах 33

§ 4. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и механики 34

Вычисление площади плоской фигуры, занимающей область D 37

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла 38

Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок 40

Координаты центра масс пластинки 43

Приложения тройных интегралов 44

(13) 45

Здесь - это объемная плотность распределения массы. 45

ТЕМА II. Криволинейные и поверхностные интегралы 50

§5. Криволинейные интегралы I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения 50

Определение криволинейного интеграла I рода 53

Основные свойства криволинейного интеграла I рода 54

Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода) 54

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода 57

§6.Криволинейные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление 60

Определение криволинейного интеграла II рода 63

Физическая трактовка криволинейного интеграла II рода 64

Основные свойства криволинейного интеграла II рода 65

Вычисление криволинейного интеграла II рода в двумерном случае (Как вычисляется криволинейный интеграл II рода?) 66

§7. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 72

Вывод формулы Грина 75

Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 79

§ 8. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования 81

Формулировка и доказательство теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в двумерном случае 85

Формулировка теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в трехмерном случае 88

§9. Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу 92

Постановка задачи в двумерном случае 95

Описание решения 95

§10. Поверхностный интеграл I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения 100

Определение и основные свойства поверхностного интеграла I рода 103

Вычисление поверхностного интеграла I рода 104

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода 106

§11. Поверхностные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса 110

Определение и физическая трактовка поверхностного интеграла II рода 113

Основные свойства поверхностного интеграла II рода: 115

Вычисление поверхностного интеграла II рода 116

Формула Стокса 117