Тема III. Элементы теории векторных полей 119

§ 12. Определение Векторного поля. Векторные линии. ПОток векторного поля через поверхность: определения, основные свойства, формулы для вычисления 119

Определение векторного поля 122

Векторные линии 122

Поток векторного поля и его свойства 123

Упражнения для самостоятельной работы 127

§13. Дивергенция и ротор векторного поля: определения, основные свойства, формулы для вычисления. формула остроградского-гаусса в векторной форме 128

Дивергенция и её основные свойства 131

Ротор и его основные свойства 133

Упражнения для самостоятельной работы 136

§14. Векторный дифференциальный оператор Гамильтона. дифференциальные векторные операции первого и второго порядков 137

Определение оператора Гамильтона 140

Правила действий с оператором Гамильтона 140

Векторные дифференциальные операции первого и второго порядков 141

Упражнения для самостоятельной работы 144

§ 15. Работа и Циркуляция векторного поля: определения, основные свойства циркуляции. 145

Определение работы и циркуляции 148

Основные свойства циркуляции 148

Вычисление циркуляции 151

Упражнения для самостоятельной работы 151

§ 16. Потенциальные, соленоидальные и гармонические векторные поля: определения и основные свойства. Нахождение потенциала потенциального векторного поля 152

Потенциальные поля и их свойства 155

Соленоидальные поля и их свойства 157

Гармонические поля и их свойства 158

Упражнения для самостоятельной работы 159

Глоссарий 160

Вопросы для самопроверки 164

Определение векторного поля

Определение векторного поля

Если в любой точке области задан вектор , то говорят, что в области задано векторное поле

Примеры векторных полей: силовое поле , поле скоростей текущей жидкости, электростатическое поле напряженностей .

Векторное поле является заданным, если задана векторная функция от координат точки с помощью своих проекций на координатные оси:

,

(1)

где являются функциями от , о которых предполагаем, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по в области (область может, в частности, совпадать со всем пространством).

Если есть зависимость функций еще и от времени , то векторне поле называют нестационарным.

Векторные линии

Определение векторной линии векторного поля

Векторная линия векторного поля — это линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением вектора поля, соответствующего этой точке.

Для поля скоростей векторные линии – это линии тока жидкости;

для электростатического поля – это силовые линии поля.

Уравнения векторных линий можно записать в параметрической форме: - это вектор касательной в любой точке М.

Так как , то (по условию коллинеарности векторов); умножим все части последнего равенства на и учтем, что , в результате получится система дифференцальных уравнений векторных линий векторного поля :

(2)

Если векторное поле является двумерным, то есть , то получится только одно дифференциальное уравнение векторных линий плоского векторного поля, которое имеет вид: .

(2’)

Пример 1 (нахождение векторных линий плоского векторного поля)

Дано векторное поле . Составить уравнения его векторных линий.

Решение

Так как векторное поле является плоским, то дифференциальное уравнение семейства векторных линий имеет вид      векторными линиями данного векторного поля являются концентрические окружности с центрами в начале координат.