Формулировка теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в трехмерном случае

Аналогично доказанной теореме формулируются и доказываются условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в трёхмерном случае. Приведем здесь только формулировку этих условий.

Теорема о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования (трехмерный случай)

Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от формы линии (АВ), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих, эквивалентных между собой, условий: 1.  (1') то есть равен нулю интеграл по любому замкнутому контуру , на котором лежат точки A и B; 2.  (2') эти три равенства непрерывных частных производных должны выполняться во всех точках некоторой области D, содержащей линию (AB); 3. Существует дифференцируемая функция трех переменных такая, что подынтегральное выражение является ее полным дифференциалом: (3')

Примеры (вычисление криволинейных интегралов II рода, не зависящих от формы линии интегрирования)

1. Проверить независимость криволинейного интеграла

от формы линии (AB) и вычислить его, если A(1;2) и B(3;4).

Решение

Здесь для данный криволинейный интеграл не зависит от формы (AB).

Вычислим его по ломаной (ACB), записав параметрически ее участки (AC) и (CB):

Криволинейный интеграл II рода, не зависящий от формы линии интегрирования, часто записывают так, что указывается только начальная и конечная точки на линии интегрирования.

Ответ: .

2. Проверить независимость криволинейного интеграла от формы линии интегрирования (AB).

Решение

Здесь ,

следовательно, данный криволинейный интеграл зависит от формы линии интегрирования, поэтому для его вычисления нужно дополнительно к имеющемуся условию задачи задавать уравнение линии (AB).

3. Вычислить

Решение

данный криволинейный интеграл не зависит от формы линии интегрирования.

Проще всего такой интеграл вычислять по ломаной линии (ACDB), состоящей из отрезков, параллельных осям координат.

Ответ: .

§9. Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу Содержание

Оглавление 2

ТЕМА I. Кратные интегралы 3

§1. Двойной интеграл: определение, свойства, 3

механическая и геометрическая трактовки 3

1.1. Определение двойного интеграла 6

1.2. Основные свойства двойного интеграла 7

1.3. Механическая трактовка двойного интеграла 9

1.4. Геометрическая трактовка двойного интеграла 9

§2. Вычисление двойного интеграла в декартовых и в полярных координатах в двойном интеграле 11

Две формулы для вычисления двойного интеграла в декартовых координатах 14

Задача об изменении порядка интегрирования в повторном интеграле (Как изменяется порядок интегрирования в повторном интеграле?) 18

Формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах 19

Формула замены переменных в двойном интеграле 22

§3. Тройные интегралы: определение, свойства, механическая трактовка, вычисление в декартовых, в цилиндрических и в сферических координатах 24

Определение тройного интеграла и его основные свойства 27

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 29

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах 31

Вычисление тройного интеграла в сферических координатах 33

§ 4. Приложения двойных и тройных интегралов к задачам геометрии и механики 34

Вычисление площади плоской фигуры, занимающей область D 37

Вычисление объемов с помощью двойного интеграла 38

Вычисление массы, статических моментов и моментов инерции тонких пластинок 40

Координаты центра масс пластинки 43

Приложения тройных интегралов 44

(13) 45

Здесь - это объемная плотность распределения массы. 45

ТЕМА II. Криволинейные и поверхностные интегралы 50

§5. Криволинейные интегралы I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения 50

Определение криволинейного интеграла I рода 53

Основные свойства криволинейного интеграла I рода 54

Вычисление криволинейного интеграла I рода (Как вычисляется криволинейный интеграл I рода) 54

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода 57

§6.Криволинейные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление 60

Определение криволинейного интеграла II рода 63

Физическая трактовка криволинейного интеграла II рода 64

Основные свойства криволинейного интеграла II рода 65

Вычисление криволинейного интеграла II рода в двумерном случае (Как вычисляется криволинейный интеграл II рода?) 66

§7. Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 72

Вывод формулы Грина 75

Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла II рода 79

§ 8. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования 81

Формулировка и доказательство теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в двумерном случае 85

Формулировка теоремы о независимости криволинейного интеграла II рода от формы линии интегрирования в трехмерном случае 88

§9. Восстановление функции нескольких переменных по ее полному дифференциалу 92

Постановка задачи в двумерном случае 95

Описание решения 95

§10. Поверхностный интеграл I рода: определение, основные свойства, вычисление, некоторые приложения 100

Определение и основные свойства поверхностного интеграла I рода 103

Вычисление поверхностного интеграла I рода 104

Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода 106

§11. Поверхностные интегралы II рода: определение, физическая трактовка, основные свойства, вычисление. Формулы Стокса и Остроградского-Гаусса 110

Определение и физическая трактовка поверхностного интеграла II рода 113

Основные свойства поверхностного интеграла II рода: 115

Вычисление поверхностного интеграла II рода 116

Формула Стокса 117